TÚRA koordináta-geometria ismétlés

28. fogás

TÚRA – erőltetett menet az érettségi felé koordinátageometriai feladatokkal

• -          Gondoljunk ki egy sor hosszú, részletes választ igénylő kérdést! ( Jelen esetben ezek koordináta-geometria  feladatok lesznek,  érettségire készülő  12. osztály számára.)
• -          Mindegyik kérdést írjuk fel egy nagy ( A/3-as vagy egy dupla négyzetrácsos) papírra, s osszuk ki a padokra.  ( A fennakadások elkerülése végett legyen több feladat, mint ahány diákpár van.)
• -          Cél: minden feladatra a lehető legpontosabb és legteljesebb választ adni a megadott határidőre. Mindezért az egész osztály  a felelős, így addig kell munkálkodniuk, míg  a válaszok szerintük a lehető legjobbak nem lesznek.
• -          A diákok párokban dolgoznak. A „Kezdjük!” jelszóra az asztalukra elhelyezett feladattal foglalkoznak pár percig, majd a tanári „Tovább!” jelzésre befejezik azt s átmennek egy másik feladathoz.  Ettől kezdve a párok szabadon mozognak az osztályban, maguk döntik el, melyik feladattal foglalkoznak s mennyi ideig…
• -          Biztassuk a diákokat, hogy bátran írjanak hozzá, írják át, töröljenek ki részeket a már leírt megoldásokból, hogy a lehető legpontosabb válaszok szülessenek a faladatokra! Csupán az alábbi szabályokat kell betartani:
• csak egy pár dolgozhat egy időben egy kérdésen ; egy kérdésnél (3) 5 percnél többet nem tölthetnek el.
• -          Amikor letelik a feladatok megoldására szánt idő, a párok visszamennek az eredeti feladatukhoz. Megnézik, milyen megoldás áll rajta, s ezt kijavítják, leosztályozzák.
• -          Az óra végén (kb. 10 percben) kiemelhetünk egy-két feladatot, közösen megbeszélhetjük a leírt megoldást vagy kijavíthatjuk, befejezhetjük azt, ha kell.

-A gyakorlatban duplán is megvalósul a kortárstanítás. Részben a páros munka miatt, másrészt a feladatmegoldásokat böngészve tanulhatnak egymás hibáiból.

- A közös munka és a teljes névtelen jellege miatt befogadó lesz a feladat.

A feladat variálható úgy is, hogy a párok a helyükön maradnak, s a tanár visz oda az új párosnak a feladatlapot. Így lehetővé válik egy viszonylag pontos differenciálás.

A feladatok:

1. Az A pont helyvektora  a = i - 2j, a B ponté b = - i+ 4j. A C pont helyvektorára teljesül,

            hogy c = 3b – 2a.

a)      Számítsuk ki A, B, C pontok koordinátáit!

b)      Igaz-e, hogy a három pont egy egyenesre illeszkedik?

2.      Bizonyítsuk be, hogy a megadott pontok egy-egy derékszögű háromszög csúcspontjai. Melyik pontnál található a derékszög az egyes esetekben?

a) A (2; 5)                    B( -6; -3)              C ( 4;3)

b) A( 4;3)                    B ( -5; -4)             C (-2; 5)

3. Hány olyan pont van a koordináta-rendszerben, amely az alábbi pontokkal együtt paralelogrammát alkot: (-1;-1); (5;1); ( 2;4)? Adjuk meg az ilyen tulajdonságú pontok koordinátáit!

 4. A készülő autópálya tervezésekor egy koordináta-rendszert helyeznek el a térképen, majd egy-egy jellemző tereptárgy koordinátáit leolvassák. Az új útszakaszt nyílegyenesnek tervezik és összeköti majd a (- 2; -1)  és ( 3;2) koordinátájú pontokat.

a) Áthalad-e a tervezett autópálya a koordináta-rendszer kezdőpontján?

b) Adjuk meg annak az autópálya nyomvonalán található pontnak a koordinátáit, amelynek abszcisszája 1.

c) Az autópálya keresztez egy már meglevő, szintén egyenes utat. Ennek az útnak két pontja P( 8; 5) illetve Q (9;2). Igazoljuk, hogy a P pontban fogja keresztezni a másik utat!

 

5. Írjuk fel az r sugarú kör egyenletét, ha mindkét koordinátatengelyt érinti, továbbá középpontja az

a) első,

b) második,

c) harmadik,

d) negyedik síknegyedben található.

6. Béla bácsi kertjében két gyönyörű díszfa található, amelyeket a tulajdonosuk rendszeresen locsol. Egy nap Béla bácsi elhatározta, hogy forgófejes locsolóberendezést állít a kertbe, amely minden irányban ugyanakkora, előre beállított távolságra képes locsolni.

Béla bácsi kijelölte egy koordinátarendszer tengelyeit, majd meghatározta a négy fa koordinátáit: (6; -1), (2; 7); (0;5), (0;1).

a)      Bizonyítsuk be, hogy valóban található olyan pont ahova elhelyezve a locsolóberendezést valóban meg lehet öntözni a négy fát.

b)      Mekkora „hatótávolságra” kell ekkor beállítani?

c)       A fenti beállítással meglocsolja-e a ( 3; -2) pontba ültetett tuját?

7. Egy egyenlőszárú háromszög alapjának végpontjai  A(-1; 3) és B( 3; -3), körülírt körének egyenlete

    x² + y ² - - 13/2 x – 3y – 15/ 2 = 0.

Számítsuk ki a háromszög ismeretlen csúcsának koordinátáit!

8. A kalózok az elveszett kincs nyomába eredvén, találtak egy térképvázlatot, valamint egy kicsit homályos leírást a kincs helyéről. A térképen egy rendkívül magas fa, valamint egy könnyen beazonosítható szikla látható. Ezek koordinátái: (-5;-6), valamint (-2; 3). A leírás szerint a k9ncs a sziklát a fával összekötő egyenes útszakasz mentén van elásva, a koordinátarendszer kezdőpontjától pontosan 5 egység távolságra.

a) Mely koordinátájú pontban van elrejtve a kalózok által keresett kincs?

b) Milyen arányban osztja a kincs a fa és a szikla közötti útszakaszt?

      9.  Bodri kutyát a gazdája kikötötte a ( -1; 3) pontban egy 3 méter hosszúságú láncra. Az

      y = x-1 egyenletű egyenes mentén hosszú sétaút húzódik. Bizonyítsuk be, hogy a sétaúton közlekedők       biztonságban vannak Bodritól, ha a koordináta- rendszer tengelyeinek egysége 1 méter.

10. Egy cukrász kétféle sütemény ( A és B) elkészítéséhez összesen 45kg  lisztet, 35 kg cukrot, valamint 25 kg margarint használhat fel. A táblázat mutatja, hogy az egyes sütemények elkészítéséhez mennyi nyersanyag szükséges.

	A sütemény	B sütemény
Liszt	1kg	2kg
Cukor	2kg	1kg
Margarin	1kg	1kg

 A cukrász nyeresége az A süteményen 70Ft,  a B süteményen 50Ft.

a) Hány darabot kell készíteni az A, illetve a B süteményből ahhoz, hogy a nyereség maximális legyen?

b) Mennyi a cukrász maximális nyeresége?

11. Egy alföldi városban három templomtorony található, amelyeket egyenes utak kötnek össze. A megfelelő koordináta-rendszerben a tornyokat összekötő utak közül kettőnek az egyenlete:

        b: 4x + y = 1

        c: 2x + 9y = 43.

A város építészei úgy döntöttek, hogy a tornyokat összekötő utak által meghatározott háromszög magasságpontjába egy kilátót létesítenek. A tervezőasztalon kiszámolták a kilátó leendő helyének koordinátáit: K ( 2; 2/3).

Számítsuk ki a templomtornyok koordinátáit!

12. Az ABC háromszög csúcsainak koordinátái: A( -2;3), B( 2;-2), C 6;2).   Az alábbi, egyenletükkel megadott egyenesek közül döntsük el, hogy melyek az adott háromszög oldalainak egyenesei?

a) y= x- 4                     b) 4x = 3x + 11                  d)  x+y=1                            g) x/4 + y/ 4 = 1!

13. A térképre helyezett koordinátarendszerben két pont koordinátája: A(-3;1) és B( 5;3). Egy kerékpáros nyílegyenes AB úton állandó sebességgel halad, és 1 óra alatt jut el az A pontból a B pontba. Adjuk meg a koordinátáit annak a pontnak, amelybe a kerékpáros az A pontból elindulva

a) fél óra,                 b) másfél óra,                   c) két óra múlva ér el!

               

NÉGYES PÁROS - kompetenciamérés

27. fogás

NÉGYES PÁROS – a kompetenciamérés feladataival

Egyszerű, hatékony, együttműködésre épülő tanulási stratégia. A feladatmegoldásnál, szövegértelmezésnél felmerülő vita hatékonyan segíti a saját vélemény alkotását. Minél többet beszél és figyel a tanuló a csoportmunkában, annál több gondolat marad meg az elméjében.  A módszer ösztönzi az együttműködést,  gyakoroltatja a  beszéd – és odafigyelési készséget, erősíti a kapcsolatteremtő  nyelvi- és logikai intelligenciát.

Ebben a gyakorlatban kompetenciamérés előtt álló 10. osztályos csoporttal korábbi évek feladataiból „mazsolázunk”. „Ünnepi” 100. órán kerülnek elő ezek a feladatok „két legyet ütve egy csapásra”, hiszen ezen az órán „illik” valami mással előhozakodni, mint a hétköznapi órákon és  a kompetenciamérés feladataival a szűkös órakeretek között nehéz megismertetni a diákokat…

A diákok párokat alkotnak.

Minden párnak egy-egy feladatot megoldani, amely megbeszéléssel, közös döntések, eredmények elfogadásával jár.

Miután a párok – megadott idő alatt végeztek,  vagy eljutottak valameddig a megoldásban-, „négyes párokat” alkotnak ( azaz hátrafordul egy –egy pár a mögötte ülő pároshoz, akik ugyanazt a feladatot kapták meg).

A négyes páros mindegyik tagja aztán megosztja munkálkodásának eredményét a másik párossal. A négyes csoportok együttesen tovább folytatják a feladat megoldását, vagy ha készen van, az ellenőrzését.

Fontos, hogy a négyes csoportok bármelyik tagja képes legyen a táblánál az osztálynak elmagyarázni, az osztálytársakkal megértetni a feladatuk megoldását. ( Ezért a csoport felel, hiszen nem kapják meg a jutalompontot, ha van olyan társuk, aki elakad a táblai feladatbemutatásnál.) Tehát nemcsak megoldani kell a példát, hanem, ha szükséges, a csoporttagnak el is kell magyarázni azt.)

A tanár a négyes bármelyik tagját kiszúrhatja erre a szerepre, ahelyett, hogy a csoport „szóvivőt” küldene maga helyett.

A csoport tagjait lehet pl. (plusz) ponttal jutalmazni, ha – akár közülük kisorsolt, vagy a tanár által kiválasztott diák táblai feladatmegoldását megszakítva egy másik / aztán harmadik, aztán esetleg a  negyedik csoporttag jól tudja folytatni.

( Mivel az idő véges, lehet akár a csoportok közül is sorsolni, kiknek a feladatmegoldását  láthatjuk a táblánál…)

( Az is érdekes helyzet, a mindegyik négyesnek ugyanazt a feladatot tűzzük ki, s sorsolással váltjuk a csoportok képviselőit a táblánál. aztán mindenki megkapja a következő feladatot, s táblai munka az előzőhöz hasonlóan zajlik le.)

Egy témára felfűzve, tematikusan válogattam össze több év feladatait átnézve a példákat. Egy párosnak így jutott 3-4 feladat együtt.

Egy feladat:

Névjegykártyák

26. fogás

Névjegykártyák

Ez az egyszerű ötlet lehetővé teszi a tanulóknak, hogy egy kártya felmutatásával vagy a padra való kihelyezésével jelezzék válaszukat.

Minden diák kapjon egy piros, egy sárga és egy zöld  A/6 –os méretű kártyát.

Az egyedüli szabály: a becsületesség!

Témák:  b) és a c) lehetőségek alkalmazása nehezebb, hosszabb matematikai bizonyítások, levezetések bemutatásánál:

 pl. amikor azt bizonyítjuk, hogy a prímek száma végtelen;

pl. a mikor azt bizonyítjuk, hogy a √2 irracionális szám;

szöveges egyenletek megoldásánál;

vagy egy összetettebb  koordináta -geometriai feladat megoldásánál.

A kártyákat használhatjuk:

-          a) kérdésre adott válaszok jelzésére: „Tudom, hogy ismerem a választ” – zöld kártya, rajta egy pipa. „ Tudom, hogy nem ismerem a választ!”  - piros kártya, rajta egy X. „Nem vagyok benne biztos, hogy tudom, vagy nem tudom „sárga kártya, rajta egy kérdőjel.

Mivel mindenkinek fel kell mutatni egy kártyát, a módszer fokozottabb részvételre ösztönöz, mint a kézfeltétel.

-          b) Felhasználható a zavarodottság jelzésére, (kiváló diagnosztikai eszköz) ha azt mondjuk:  „Emeljétek fel a sárga kártyát, ha kezditek elveszíteni a fonalat!” vagy „Emeljétek fel a piros kártyát, ha teljesen elveszítettétek a fonalat!” .

-          c) Azonnal ellenőrizhetjük a megértést, - a tanár bármikor megállhat és kérheti a kártyák felmutatását, hogy eddig mindent megértettek- e vagy csak félig értik, vagy fogalmuk sincs a dologról…

-          d) Gyors döntéshozatal vagy gyors véleményfelmérés módszereként is alkalmazható akár munkahelyi értekezleteken is.

 A kártyák arra utalnak, hogy nem az a lényeg, hogy gyorsan átessünk a tanulási műveleteken.  A kártyák jelzik a gyerekek számára, hogy a tanulás – másoknak is – lelki megerőltetéssel, zavarodottsággal jár(hat).A kártyák gondolkodást követelnek a gyerekektől, odafigyelést, ellenőrzést. Megerősítik a személyes felelősség érzését. Fontos, hogy mindenkinek van kártyája ( a módszer demokratikus!), a kártyák segítségével mindenki aktív részese az eljárásnak!

NAGYÍTS Szögfüggvények bevezetése

25. fogás

nagyíts!

Téma: 10. osztályos matematika; trigonometria  bevezetése – hegyesszögek szögfüggvényeinek bevezetése

Az alapötlet a következő :

lehessen bemutatni  a tananyagot  „nagy méretben”.

-          Segítheti az új fogalmak megértését, ha áttekintjük a háromszögek hasonlóságának alapeseteit. Fontos lehet a háromszögek hasonlóságának alapeseteit áttekinteni. A kapott eredmények szerkesztéssel történő ellenőrzése hitelesebbé teheti a definíciókat. Mindezt egy nevezetes, a Pithagorasz tételnél megismert háromszög szerkesztésével kezdjük.

-          Szerkesszen minden gyerek a füzetébe olyan háromszöget, amelynek oldalai 3 egység, 4 egység és 5 egység hosszúak.

-          Mutassuk meg a ( kb. 1 méteres) csomós zsinórral nagyban, a zsinórt kifeszítve a 3, 4 ,5 egység oldalú háromszöget!

-          Mérjük meg az oldalak hosszát, számoljuk az oldalpárok arányát, mérjük meg a háromszögek szögeit!

-          Ezután vezessük be a szögfüggvényeket, pl. :

-                         hegyesszög szinusza:  egy derékszögű háromszögben egy hegyesszög szinuszát úgy definiáljuk, mint a szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosa.

EGYMÁSNAK HÁTTAL Szögfüggvények bevezetése

24. fogás

Egymásnak háttal – hegyesszögek szögfüggvényeinek bevezetése

Ez a könnyen megvalósítható, vidám foglalkozás fejleszti a beszédkészséget, az odafigyelést, a megfigyelést, az együttműködést.

A diákok párosával egymásnak háttal ülnek. A széke háta érintkezzen, hogy elég közel kerüljenek egymáshoz a gyerekek, hogy a kialakuló zsivajban is értsék egymást.

Az egyikük ( „A”)  kap egy képet – jelen esetben egy négyzetrácsos papírra rajzolt derékszögű háromszögről, amelynek vagy az oldalainak mérete olvasható le könnyen a négyzetrácsok segítségével, vagy a szögeit adtam meg, vagy a derékszög mellett még az oldalak hosszának arányát.

A másik diák  ( „B”) pedig egy üres négyzetrácsos lapot kap – ezen a lapon más a négyzetrácsok mérete, mint a rajzot tartalmazó lapon.

Az „A” elmondja, mit lát a képen, „B „ pedig megpróbálja a formára, a méretre, részletekre figyelve a lehető legpontosabb másolatot elkészíteni.

„B” annyi kérdést tehet fel, amennyit csak akar, de nincs kukucskálás! Nem nézhetik meg egymás papírját! Az „A” feladata az, hogy a lehető legsegítőkészebb legyen!

Amikor letelik az idő, a párok összevetik rajzaikat.

Hasonlítsák össze, mérjék meg a szögeket, az oldalakat!

Számolják ki az egyes háromszögeknél befogók és az átfogó hányadosát!

Majd a két befogó arányát!

-          Lehet hasonló háromszögeket több lapra is felrajzolni, így több háromszöget tudunk összehasonlítani a végén.
-          Érdemes a 30°, 60°, 90° - os háromszöget is felrajzolni néhány lapra!
-          Érdemes az egyenlőszárú derékszögű háromszöget is felrajzolni néhány lapra!

A háromszögek összehasonlítása után be lehet vezetni az oldalak arányára a sinus, cosinus, tangens és cotangens elnevezéseket!

TÖRÖTT DARABOK - Halmazok

23.  fogás 

Törött darabok –Halmazok - 9. osztály

Remek időtöltés! Az ember összetör valamit és másokkal együtt összerakja…!

Valamennyi diák kap egy olyan információ- vagy kötelesség-darabkát, amelyre a csoportnak a feladat elvégzéséhez szüksége van.

·           Ha van rá mód, ültessük körbe a csoportok tagjait! A diákok ötös vagy hatos csoportokban dolgoznak.

·           Ismertessük a csoportokkal a végrehajtandó feladatot!  - Jelen esetben minden csoport 10 kulcskártyát tartalmazó borítékot kap:

1.         A Hofukról, Kolebekről, Sirákról és Tókákról mondunk állításokat:

2.         minden Tóka Hofu

3.         minden Sira Koleb

4.         miden Sira nem Hofu

5.         a Hofuk fele Koleb

6.         a Kolebek fele nem Hofu

7.         a nem Hofu Kolebek fele Sira

8.         nincs olyan, aki Sira  és Tóka is lenne

9.         ugyanannyian vannak a Sirák, mint a Tókák.

10     Válaszoljátok meg az alábbi kérdést: Hányszor annyian vannak a nem Tóka Hofuk, mint a Tókák?

·           Fűzzük hozzá : A feladat csak a csoporton belül oldható meg az összes kulcs felhasználásával.  Mindenki magánál tarja a kártyáját! Csak szóban oszthatjátok meg az ötleteiteket másokkal. A csoportban egy ember írja le a megoldást, s vigye ki a tanárnak ellenőrzésre.

·           Az első helyes megoldásért a csoporttagok jutalompontokat kapnak!