PI projekt

52. fogás

π – projekt   -    információkeresés

p - day

3.14 - nap

Egyszerű és kínos igazság az, hogy minél több dolgot fedezünk fel és találunk ki magunktól, annál több marad meg belőle. Az az információ, amelyet mi magunk vadászunk össze, sokkal emlékezetesebb, mint amit tálcán kínálnak föl.
Hát még akkor, ha magunk kutatgatjuk, számoljuk ki, dolgozzuk fel azokat az információkat - akár egy hosszabb időt igénylő projekt munka során - , amelyeket aztán pl. az iskola folyosóján kiállítva a többi diáknak kínálunk oda: keresgessetek benne ti is kedvetekre információkat!


Lehet a diákok kezébe feladatlapot adni, amely az egyes tablókhoz kapcsolódó kérdéseket tartalmaz, pl. a Leibniz - féle sor segítségével hány tizedesjegyig határoztad meg a pi-t, vagy hány lépésnyi távolságból tudtad még elolvasni a  pi  jegyeinek   34825-tel kezdődő sorát?

 APROPÓ!

1988 óta március 14-én ( III. 14., azaz 03. 14.) ünnepeljük a kör kerületének és átmérőjének hányadosát, a legendás pi (π) számot. Érdekesség, hogy 1879-ben ezen a napon született Albert Einstein.

A kör négyszögesítése

Katajev premier Miskolcon

A kör négyszögesítése az a mértani feladat, amelynek lényege, hogy az adott kör területével egyenlő területű négyzet szerkesszünk. Valami ilyesmi történik a darabbeli Szovjetunióban, 1921-ben, a szocializmus hajnalán, egy szűk és koszos padlásszobában is. Itt ugyanis a munkás Vászja és az értelmiségi Iván pont egy napon, a másik tudta nélkül köt házasságot. Így a négy fiatalnak a darab során nemcsak a helyhiánnyal, a forradalmi ideológiákkal, költő barátjukkal, az állandóan útban levő kerékpárral és a szocialista családerkölccsel, hanem saját érzéseikkel is meg kell küzdeniü

És nem csak a padlásszobán, a Karl Marx-köteten, a párnán és a vacsorán, de előbb-utóbb saját házastársukon is osztoznak... És hogy mi kell egy szolid szovjet házassághoz? Valentyin Katajev kétfelvonásos vígjátéka szerint először is boldogság. Aztán sok félreértés, még több veszekedés, egy kis kergetőzés, fenyegetőzés, elszakadás, majd nagy, romantikus egymásra találás. Hiszen mondanunk sem kell, hogy végül minden akadályt legyőz: a szerelem.

 PI - TÖRI

A kör négyszögesítése

A quadratura circuli ( a kör négyszögesítése) problémájával már a legrégibb reánk maradt mathematikai mű is foglalkozik: a British Museumtól őrzött RHIND-féle papyrus. Majdnem két évezreddel időszámításunk előtt írta RA•A•US hiksos királynak (görögül Apophis) írnoka: Ahmes, tartalmát oly régi iratokból merítvén, melyek RÆNMAT (III. AMENEMHAT?) idejében készültek, tehát még évszázadokkal a papyrus előtt.

Ez a mű nem tankönyv, hanem számos feladat gyűjteménye, melyekből a megoldásuk alapjául szolgáló elmélet felismerhető ugyan, azonban kifejtve magában a könyvben nincsen. A feladatok leginkább a gyakorlatias életből valók, mint a következő is:

 «Szabály 9 öles (átmérőjű) kerek föld számítására. Mekkora

területbeli kiterjedése? Vond ki 1/9-ét, azaz 1-et, a maradék 8;

sokszorozd e számot 8-czal, ez ád már most 64-et. A területbeli

kiterjedés 64.

Végezd úgy, ahogy történik.

         ·           9                     ·     8

1/9 rész             1                    ··    16

kivonva: a maradék   8                    4     32

                                          8     64

A területbeli kiterjedés 64.»

E számítás így értendő. Az átmérőből kivonandó annak 9-ed része és a megmaradt 8/9 rész a négyzetre emelendő, hogy a kör területét kiszámítsuk.

Az egész átmérő 9 1/9     -"- 1 Maradék 8

8 négyzetre emelése 1×8 = 8 2×8 = 16 4×8 = 32 8×8 = 64

E szerint a körrel egyenlő területe négyzet oldalának viszonya az átmérőhöz 8/9. Ez nem más, mint a pontos értéknek harmadik közelítő törtje, mert a keresett viszony valóban

és ennek közelítő törtjei 1, 7/8, 8/9 stb,

Jahmesz, az írnok

Királyi írnokként nagy tudású gyakorlati szakember volt, aki urának parancsait teljesítve; gazdasági, műszaki, szervezési és számolási feladatokat látott el. Jahmesz, nem biztos, hogy a legkiválóbb matematikus volt, mivel a papiruszon több matematikai hibát is vétett. Bár az is lehet, hogy a régi írást másolta betűről-betűre és nem akarta meghamisítani az elődök munkáját.

Jahmesz bizonyítás nélkül kijelentette, hogy a 9 egységnyi átmérőjű kör területe egyenlő a 8 egységnyi oldalú négyzet területével. Ez mai jelöléssel azt jelenti, hogy

π(9/2)² = 8²

ahonnan a pi értékére körülbelül 3,16 jön ki, ami jó közelítés, mert két századnyira közelíti meg a valódi értéket (3,14).

Görögország

Arkhimédész módszere a π meghatározására

Az ókori görögök felismerték, hogy a kör területe egy olyan háromszög területével egyezik, amelynek alapja a kör kerülete, magassága a kör sugara. Ezzel a π nem csupán körterület, hanem a körkerület kiszámításával is kapcsolatba került. 

 Arkhimédész a körbe és a kör köré írt sokszögekkel a közelítésig pontosította elődei eredményét. Az Arkhimédész becsléséből származó közelítésnél pontosabb eredményre jutott .

Európa

A középkori Európából a legkorábbi konkrét írásos emlék Novgorodból származik. Kirik diakónus 1134-es jegyzeteiben több számítás között szerepel az égitestek (Föld, Nap, Hold) térfogatának kiszámítása Eratoszthenész mérései alapján. E számításokhoz az ismeretlen forrásból származó 3,125 -ös közelítést használták.

Nyugaton a sokoldalú humanista, Nicolaus Cusanus 1445–59 között több művében foglalkozott a körkerület kiegyenesítésével, de csak egy eredménye volt jobb Arkhimédészénél. Módszere kissé eltért Arkhimédészétől: Arkhimédész fix kerületű körbe és köré írt 3, 6, 12, 24, …, 3·2ⁿ oldalú sokszögekkel számol, Cusanus 4, 8, 16… oldalú fix kerületű sokszögekbe és köréjük írt körökkel. Az r sugarú körben α középponti szöghöz tartozó körív i hosszára a következő képletet adta:

Cusanus eredményeit a 16. század végén François Viète, W. Snellius, Christian Huygens, a 17.–18. században többen, köztük Isaac Newton javították.

1597-ben A. van Roomen ismételte meg az arab Al-Kási eredményét. Ezzel egyidőben Ludolph van Ceulen (1550–1617) német származású holland matematikus 1596-ban megjelent könyvében 60·2³³=515 396 075 520 oldalú befoglaló és körülíró sokszöget használt a π értékének számításához. Ezzel a módszerrel húsz tizedesjegyig határozta meg a π értékét, majd 1615-ben 32-jegyű közelítést publikált. Munkássága nyomán nevezik a π-t „Ludolph-féle számnak”.

A matematikai szakirodalom 18.–19. századi eredményei között igen sok foglalkozik ezzel az akkortájt divatos problémával. Ezek nagy része naiv műkedvelők hibáktól hemzsegő munkája. A Magyar Tudományos Akadémia a 19. század közepén úgy rendelkezett, hogy „kör négyszegesítését, a szög háromfelé metszését, az örök mozgony feltalálását előadó értekezések vizsgálatlanul visszautasíttatnak”.

Már a 18. századtól tudták, hogy a π irracionális szám, jelölésére a kis görög pi betűt 1739-ben Leonhard Euler vezette be William Jones nyomán.

1873-ban William Shanks angol matematikus 30 évi munkával 707 tizedesjegyig számította ki ^[2], de 1944-ben a szintén angol Fergusson kimutatta, hogy Shanks az 528. tizedestől kezdve tévedett.

 SZÁMOLD KI!

Számold ki a Π minél pontosabb értékét a

Leibniz-féle sor

segítségével!

Behelyettesítés a képletbe:	Π/4 TIZEDESTÖRT ALAKBAN	Π TIZEDESTÖRT ALAKBAN
1
1 – 1/3 =
1 – 1/3  + 1 /5 =
1 – 1/3  + 1 /5 – 1/7=
1 – 1/3  + 1 /5 – 1/7 + 1/9= 1 – 1/3  + 1 /5 – 1/7 + 1/9 – 1/11=
1 – 1/3  + 1 /5 – 1/7 + 1/9 – 1/11+ 1/13 =
1 – 1/3  + 1 /5 – 1/7 + 1/9 – 1/11+ 1/13 – 1/15 =
1 – 1/3  + 1 /5 – 1/7 + 1/9 – 1/11+ 1/13 – 1/15 + 1/17 =
1 – 1/3  + 1 /5 – 1/7 + 1/9 – 1/11+ 1/13 – 1/15 + 1/17 – 1/19 =

Számold ki a Π minél pontosabb értékét a  Wallis-formula

segítségével!

Behelyettesítés a képletbe:	Π/2 TIZEDESTÖRT ALAKBAN	Π TIZEDESTÖRT ALAKBAN
2/1=
2/1* 2/3=
2/1*2/3*4/3=
2/1*2/3*4/3*4/5=
2/1*2/3*4/3*4/5*6/5=
2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7=
2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7*8/7=
2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7*8/7*8/9=

 MÉRD MEG!

Mérd meg a (kerek sajtos)doboz kerületét!

Görgesd végig a szalagon!

Mérd meg a doboz átmérőjét!

Végezd el az osztást!

kerület  átmérő	Eredmény

ÍRJ TE JOBBAT!

Versedet leadhatod a könyvtárban!  A legjobbakat díjazzuk!

A versben

Ismeretesek olyan mnemotechnikai „versek”, amiknek szavai annyi betűt tartalmaznak, mint a soron következő számjegye.

A következő  vers harminc tizedesjegyig adja meg a értékét:

„	Nem a régi s durva közelítés, Mi szótól szóig így kijön Betűiket számlálva. Ludolph eredménye már, Ha itt végezzük húsz jegyen. De rendre kijő még tíz pontosan, Azt is bízvást ígérhetem.	”
- Szász Pál, matematikus (1952)

„	Íme a szám: a görög periféria pi betűje.Euler meg Viète végtelen összeggel közelít értékéhez. Lám, őt már Egyiptom, Kína, Európa is akarta, hogy „ama kör kerülete úgy ki lehetne számlálva”.	”
-          Szikora Ágnes (2009)

Egy angol változat 14 tizedesjegyig:

„	How I need a drink, alcoholic in nature, after the heavy lectures involving quantum mechanics.	”
- ismeretlen

PI viccek

- Ki az abszolút matematikus?
- ???
- Aki úgy eteti a csirkéket, hogy 3,14... 3.14... 3,14...

A szerelem olyan mint a PI-  irracionális és nagyon fontos.

John α-t ír a táblára.

Sarah β –t.

Bred π – t…

Egy pi nélküli, szomorú világ.

REJTVÉNYEK

EGY GYUFASZÁL ÁTHELYEZÉSÉVEL TEDD IGAZZÁ AZ EGYENLETET!

 PI - SUDOKU

Területenként használható számjegyek :

1,2,3,4,5,6,7,8,9,Π,Π,Π

A π első 100 jegye:

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679

KERESD MEG A SZÜLETÉSNAPODAT A PI SZÁMJEGYEIBEN!

Húzd alá, ha megtaláltad!

(Pl. 931123 jelenti : 1993. 11. 23. , vagy 321 jelenti : március 21-ét.)

A Pi értéke 1000 tizedesjegy pontossággal
Pi = 3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510  : 50
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679  : 100
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128  : 150
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196  : 200
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091  : 250
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273  : 300
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436  : 350
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094  : 400
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548  : 450
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912  : 500

9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798  : 550
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132  : 600
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872  : 650
1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235  : 700
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960  : 750
5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859  : 800
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881  : 850
7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303  : 900
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778  : 950
1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989  : 1000

VÉGEZZ OLVASÓPRÓBÁT!

A PI hány jegyét tudod elolvasni innen?

PI - kotta

Hangolj be sörösüvegeket!

(Valamilyen pálcával, kanállal üssünk rá az üvegekre. Minél magasabb a vízoszlop az üvegben, annál mélyebb hangot hallunk. Valamilyen pálcával, kanállal üssünk rá az üvegekre.)

Játszd el rajta Pi dallamát!

Internetről letölthető telefonod csengőhangjának is…! J

 PI - ART

Írd fel sorban kb. 100 jegyét sorba!

Kódold a számokat színekkel, pl. 

0 - pink

1- piros

2 - zöld...

9- kék.

Készíts mozaikot / láncot a pi jegyeinek a megfelelő  sorrendben lerakott színekkel!

Így is számítható a kör területe

Íme egy egységsugarú negyedkört mutató ábra.

Az OA szakaszt megfeleztük, párhuzamost húztunk az OB sugárral. Kérdezzük az ábrán kék színnel festett téglalap területének négyszeresét!


Harmadoljuk most az OA szakaszt!

A feladat most az, hogy adjuk meg a kék színnel jelölt téglalapok területösszegének négyszeresét!
Most két hosszmérés és némi számolás után ismét egy lejegyzendő eredményhez jutunk.

Negyedeljünk ezután!

A teendő ugyanaz, mint az előző esetekben.

Még további területszámolásokat végeztethetünk, és az alábbi táblázathoz juthatunk.

KÉRDÉSEK, FELADATOK

 

1.)                    Hol találkozhatunk először a π  értékével a matematika történetében?

2.)                    Miért nevezik a π -t Ludolph –féle számnak is?

3.)                    Ma (2010.) hány jegyét ismerjük?

4.)                    A Te számológéped milyen értéket ad a π -re?

5.)                    A π melyik számhalmazokba tartozó szám?

6.)                    Mi a π 314. számjegye?

7.)                    Írj le egy π -verset!

8.)                    Írj Te is egy π -verset! ( Lehet „szabad –vers” is, de legalább 6 szóból álljon!)

Mérd meg otthon egy konyhai fedő kerületének (madzaggal J ) és átmérőjének hosszát, majd vedd a két érték hányadosát! Mennyit kaptál eredményül?

9.)                   

Arkhimédész módszere a π meghatározására :

  a körbe és a kör köré írt sokszögekkel a becsülte meg a π értékét.  Végezd el a szerkesztést és a számolást egy körbe beírt és a kör köré írt nyolcszög esetére!

10.)    Add meg az egyenlítő hosszát stadion, ill. km mértékegységekben! 

A  Föld felszínének hányadrészét foglalja el Magyarország területe?

π-t tartalmazó képletek

A π sok olyan geometriai képletben szerepel, amelyek körökkel és gömbökkel kapcsolatosak.

Keress Te is továbbia

Geometriai alakzat	Képlet
A kör kerülete r sugárból, d átmérőből
A kör területe r sugárból
Az ellipszis területe, a és b féltengelyekből
A gömb térfogata r sugárból, d átmérőből