2011. december 21., szerda

70.fogás

Kérdésgenerátor – Nagyíts!  -  Aranymetszés

Vezessük be a soron következő témát:
- arányosság – egyenes;
                - fordított.
                  - ?  van- e másféle???  (- az aranymetszés legendájáról :  prezentáció )

Szólítsuk fel a diákokat, hogy alkossanak kérdéseket a témával kapcsolatban a vetítés közben és írják fel ezeket egy – egy kártyára. A vetítés – magyarázat végén szedjük össze a kérdéseket tartalmazó kártyákat, nézzük át gyorsan és rakjuk közéjük (ha nem találtuk meg ezeket amúgy is) a következőket:
-          Van –e olyan sokszög, amelynek ugyanannyi átlója van, mint oldala?
-          Adott egy szakasz. Osszuk fel két részre úgy, hogy a rövidebbik aránya a hosszabbhoz annyi legyen, mint a hosszabb aránya az egészhez.

-          Egy téglalap két részre bontható úgy, hogy az egyik rész négyzet, a másik pedig az eredetihez hasonló téglalap. Határozzuk meg az oldalainak arányát!
-          Hogyan lehet szabályos hatszöget szerkeszteni?
-          Hogyan lehet ötágú csillagot rajzolni?

Húzzon mindenki ( vagy párosával) egy-egy kérdést. Kapjanak a gyerekek egy kis időt a válaszadás előtt; használhatják a jegyzetüket vagy a könyvet. Aztán kérjük meg a diákokat, hogy adják elő a válaszukat a kérdésre.
VAGY : ha  a szerkesztési feladatokat a végére hagyjuk, akkor azokat párban is megbeszélhetik a gyerekek.

A kérdések egy részére válaszoljunk illetve a prezentációt egészítsük ki a NAGTs ! – módszer alapján.
Az alapötlet a következő:
ha lehet, szabadítsuk fel az osztályterem közepét, hogy ott lehessen bemutatni  a tananyagot  „nagy méretben”.

A prezentáció Dan Brown A Da Vinci kód c. könyvének részletére épül


 “…Egyszerre ott találta magát újra a Harvardon, a „Szimbolizmus a művészetben'' elnevezésű
1,618
Langdon szembefordult a feszülten figyelő diáksereggel.
— Ki tudná megmondani nekem, milyen szám ez?
Egy hosszú lábú matek szakos emelte föl a kezét a hátsó sorban.
— Ez a phi szám. — Fínek ejtette.
— Kitűnő, Stettner — mondta Langdon. — Bemutatom önöknek a phit.
— Ez a szám a phi — folytatta Langdon. — Egy egész hatszáztizennyolc ezred, ami rendkívül fontos szám a művészetben. Tudja valaki, hogy miért?
Megint Stettner igyekezett kitüntetni magát.
— Mert olyan csinos?
Mindenki nevetett.
— Valójában — mondta Langdon — Stettner ismét igazat mondott. A phit tekintik ugyanis a legszebb számnak a Világegyetemben…
— A phi mindenütt jelenvaló a természetben — mondta Langdon, miközben lekapcsolta a világítást —, ami nem lehet véletlen, ezért tekintették az ókoriak a phit a Világegyetem teremtője által megszabott számnak. Az első tudósok isteni arányszámnak vagy aranymetszésnek nevezték.
— Várjon — szólalt meg egy fiatal nő az első sorból. — Én biológia szakos vagyok, és még sohasem találkoztam az aranymetszéssel a természetben.
— Nem? — vigyorgott Langdon. — Vizsgálta valaha a nőnemű és a hímnemű egyedek számarányát a méhek közösségében?
— Természetesen. A nőnemű egyedek mindig többségben vannak.


— Úgy van. És azt tudja-e, hogy ha a világ bármely kaptárában elosztja a nőnemű egyedek számát a hímnemű méhekével, akkor mindig ugyanazt a számot kapja?
— Tényleg?
— Bizony. A phit.
A lány eltátotta a száját.
— Az lehetetlen!
— Pedig igaz — vágott vissza Langdon mosolyogva, miközben betolta egy tengeri kagyló képét a vetítőbe. — Felismerik?
— Ez egy nautilusz — mondta a biológia szakos hallgató. — Egy puhatestű lábasfejű, ami gázt pumpál a háza kamráiba, és azzal szabályozza a merülését.


— Helyes. És mit gondol, hogyan aránylik a kagylóhéj egyik spiráljának átmérője a másikéhoz? Mennyi az arányszám?
A lány bizonytalan tekintettel méregette a nautilusz csigaházának spiráljait. Langdon bólintott.
— Phi. Az aranymetszés. 1,618. A lány elképedten bámult.
Langdon rátért a következő képre — egy kinagyított napraforgótányérra.
— A napraforgómagok ellentétes csigavonalakban helyezkednek el. Kitalálják az arányszámot a két szomszédos sor átmérője között?


— Phi? — kérdezték egyszerre.
— Talált!

— Örülök, hogy megkérdezte — válaszolta Langdon. Becsúsztatta a következő diát — egy halványsárga pergamenlap tűnt föl Leonardo da Vinci híres férfiaktjával, a Vitruvius-tanulmánnyal, amely Marcus Vitruviusról, a nagyszerű római építészről kapta a nevét, aki De Architectura című művében dicsőítette az aranymetszést.

— Da Vincinél jobban senki nem értette az emberi test isteni felépítését. Holttesteket exhumáltatott azért, hogy megmérhesse az ember csontszerkezetének pontos arányait. Ő volt az első, aki kimutatta, hogy az emberi test a szó szoros értelmében építőkövekből áll, amelyek arányszáma mindig a phivel egyenlő.
A teremben ülő hallgatók mind kételkedve néztek rá.
— Nem hisznek nekem? — kérdezte Langdon. — Legközelebb vigyenek magukkal mérőszalagot, ha zuhanyoznak.
Az osztály néhány futballistája felnyerített.
— Nem csak a sportolók — reagált Langdon. — Mindannyian. Fiúk és lányok. Próbálják ki. Mérjék meg magukat a fejük búbjától a sarkukig. Az eredményt osszák el a köldöktől a sarkukig mért távolsággal. Találják ki, mi lesz a hányados!

— Csak nem a phi? — tört ki hitetlenkedve az egyik focista.
— De igen — felelte Langdon. — 1,618. Akarnak még egy példát? Mérjék meg a karjukat a vállukról az ujjuk hegyéig, azután osszák el a könyöküktől az ujjak hegyéig mért távolsággal. Megint a phi jön ki. Még egyet? Csípőtől a sarkukig osztva térdtől a sarokig. Megint csak a phi. Ugyanez a helyzet az ujjpercekkel, a lábujjakkal, a gerincoszlop arányaival. Phi, phi, phi. Barátaim, önök valamennyien két lábon járó emlékművei az aranymetszésnek.

A következő fél órában Langdon Michelangelo, Albrecht Dürer, Da Vinci és mások műveiről mutatott be képeket az osztálynak, bizonyítva az alkotók tudatos és szigorú ragaszkodását az aranymetszéshez kompozícióik elrendezésében.
     

 

Igazolta a phi jelenlétét a görög Panthenón, az egyiptomi piramisok, sőt az Egyesült Nemzetek Szervezetének New York-i székháza építészeti arányaiban. Szervező struktúraként ott volt a phi Mozart szonátáiban, Beethoven V. szimfóniájában, Bartók, Debussy és Schubert zeneműveiben. Még Stradivari is a phi számot alkalmazta, mutatott rá Langdon, hogy kiszámítsa az f nyílás pontos elhelyezését híres hegedűin.
— Befejezésül — mondta Langdon a táblához lépve — térjünk vissza a szimbólumokhoz. — Húzott öt, egymást metsző vonalat, amelyek egy ötágú csillagot adtak ki. — Itt láthatják az egyik legjelentősebb szimbólumot. Hivatalos elnevezése ötszög vagy pentagramma, ahogyan a régiek tisztelték. Számos kultúrában egyszerre tekintik isteni és mágikus jelképnek. Meg tudja valaki mondani, hogy vajon miért?
A matek szakos Stettner emelte föl a kezét.
— Mert ha felrajzolunk egy ötszöget, a vonalak automatikusan az aranymetszés szabályai szerint osztódnak részekre.


Langdon elismerő pillantással jutalmazta a srácot.
— Kitűnő válasz. Igen, a vonalszakaszok arányai az ötszögben mindig phivel egyenlők, ezért vált ez a szimbólum az aranymetszés legteljesebb kifejezőjévé. És ezért volt az ötágú csillag mindig is a szépség és a tökéletesség jelképe, amely az istennőre és a szent nőiségre utal.”
Dan Brown



-         Aranymetszés

A matematika, a művészetek és egyes természeti jelenségek között teremt meghökkentően szoros kapcsolatot az aranymetszés néven ismert egyszerű aránypár
Egy szakasz vagy mennyiség aranymetszés szerinti felosztásakor a keletkező kisebb darab úgy aránylik a nagyobbhoz, mint a nagyobb az egészhez
Képlettel felírva: a/b= b /(a+b)
Könnyen igazolható, hogy ez csak egyféle felosztás esetén állhat elő
a·(a+b)= b·b
A kifejezést másodfokú egyenletté alakítva a következőt kapjuk: a2+a·b - b2=0

Oldjuk meg a másodfokú egyenletet a-ra nézve!
                 
a1,2 = (-b + √ b2 + 4*1* b2 ) : 2*1 = ( -b + b √5) :2

-          

A nemzetközi gyakorlatban ezt fi-vel szokták jelölni :





Az ókori görög Pitagoreus-szövetség misztikus szimbólumnak tekintette a pentagrammát, és ennek rajza volt az, amivel Goethe Fausztja tőrbe csalta Mefisztót. Az ábrát kifelé és befelé egyaránt akármeddig folytathatjuk, és minden szakasz aranymetszéssel aránylik a következő kisebbhez.
 

-         A pentagramma
A mellékelt ABCDE csúcspontú csillagötszöget (pentagrammát) úgy kapjuk meg, hogy a szabályos HIKFG ötszög oldalait a metszéspontjukig meghosszabbítjuk
A püthagoreusok ezt a jelet használták egymás üdvözlésére és felismerésére, lerajzolva azt a homokba
A pentagramma szögeinek összege 5*36°=180°, ugyanannyi, mint egy háromszög szögeinek összege
-         

-          Az aranymetszéssel szoros kapcsolatba hozható a püthagoreusok által misztikus tisztelettel övezett, az univerzum jelképének tekintett szabályos ötszög.
Kimutatható, hogy e síkidom bármely két metsző átlója az aranymetszés szabályának megfelelően osztja egymást két-két részre, sőt, az összes átlót megrajzolva a keletkező újabb osztópontok is az eredeti szakaszok fí-szeresénél találhatók
Az átlók a Pithagorasz csillagot határolják körül.


Aranymetszés a matematikában
Az aranymetszéssel szoros kapcsolatba hozható a püthagoreusok által misztikus tisztelettel övezett, az univerzum jelképének tekintett szabályos ötszög
Kimutatható, hogy e síkidom bármely két metsző átlója az aranymetszés szabályának megfelelően osztja egymást két-két részre, sőt, az összes átlót megrajzolva a keletkező újabb osztópontok is az eredeti szakaszok fí-szeresénél találhatók
Az átlók a Pithagorasz csillagot határolják körül

 





Aranymetszés
Egy szakasz két olyan részre való felosztását, melyek közül a rövidebb szakasz hossza úgy aránylik a nagyobbhoz, mint a nagyobb az egészhez, aranymetszésnek nevezzük.




Az aranymetszés fogalmának megismerése után a tanulók megtanulják megszerkeszteni az aranymetszést. A szerkesztést először a tanár mutatja meg a táblánál, majd mindenki elvégzi a füzetébe.

Az aranymetszés grafikus megállapítása
Első szerkesztési mód: Czibulka-féle szerkesztés 


Az aranyarány szerkesztése a Pitagorasz-tétel ismételt alkalmazásával. A kép jelölésével Φ = 1:φ




Hippászosz esete a pentagrammával
Püthagorasz (i.e. 580–510) követői, a pitagoreusok, a tudomány mellett a misztika iránt is élénk érdeklődést mutattak. Meglátásuk szerint a világmindenség tökéletesen leírható a természetes számok (vagy ezek hányadosaiból képzett racionális számok) segítségével. Ezt a meggyőződésüket erősítette többek között az a felfedezés is, hogy a tiszta hangközöknek (oktáv, kvint, kvart stb.) megfelelő frekvenciák aránya pontosan felírható racionális számként. A XXI. század digitális világa is mintha a pitagoreusokat igazolná: a boltban vásárolt CD/DVD lemez, mely többórányi kép- és hangfelvételt hordoz, gyakorlatilag nem más, mint gigantikus mennyiségű 0 és 1 számjegy egymásutánja. A hang- és képrögzítés, valamint -átvitel egyre inkább a digitális, vagyis egész számokkal kódolt technikán alapszik, ugyanilyen típusú kód vezérli az életünk számos területét döntően megváltoztató elektronikus számítógépeket. Bármennyire tetszetős azonban a püthagoraszi gondolat, már a kezdet kezdetén kitűnt, hogy univerzális alkalmazásának lehetnek akadályai. Püthagorasznak tulajdonítjuk a derékszögű háromszög a,b befogói és c átfogója közötti a2 + b2 = c2 összefüggést. Egyes esetekben az egyenlet nyilvánvalóan kielégíthető természetes számokkal, pl. 3, 4, 5, vagy 6, 8, 10, máskor racionális törtekkel, pl. 3/2, 2, 5/2, de általában nem ilyen egyszerű a helyzet. A pitagoreusok azt hitték, hogy minden derékszögű háromszög esetében az oldalak aránya racionális. Ha nem tudták az arányt pontosan felírni, akkor ezt a számítás hiányosságának, illetve hibájának tulajdonították. A pitagoreusok jelképe a pentagramma volt, vagyis a szabályos ötszög beleírt átlóival (1. ábra). Az átlók újabb, kis ötszöget határoztak meg az eredeti ötszög belsejében, az egymásba skatulyázott ötszögek sorozata a pitagoreusok számára a végtelent jelenítette meg. (Mai fogalmaink szerint a pitagoreusok az önhasonlóságra lettek figyelmesek. A pentagrammával analóg elven felépülő, tetszőleges pontból kiindulva minden mérethatáron túl önhasonló képződményeket nevezzük fraktáloknak. A pentagrammánál az önhasonlóság csak egy pontban teljesül, ezért ez még nem fraktál.) A sors fintora, hogy éppen a pentagramma kapcsán omlott össze a pitagoreusok racionális számokra épülő filozófiája: i.e. 450 kürül a dél-itáliaia Metapontban élő Hippászosz nevű pitagoreus egy szép napon azzal a hírrel lepte meg társait, hogy a szabályos ötszög oldalának és átlójának aránya nem racionális szám. A bizonyítás nem maradt ránk, azonban ma minden középiskolás be tudja látni hasonló háromszögek segítségével, hogy a vizsgált arány éppen (Ö 5–1)/2; ezt szokták aranymetszésnek is nevezni. Hippászosz további sorsáról nem tudunk bizonyosat, egyes legendák szerint felfedezésével kihívta maga ellen az istenek haragját, hajója viharba került és az utasok a tengerbe vesztek. Más források azt állítják, hogy Hippászosz halálában az istenek haragja mellett társai haragjának legalább ugyanakkora szerep jutott. Tény azonban, hogy felfedezése alapjaiban rázta meg a görög matematikát, és a kor gondolkodói iszonyodva fordultak el az irracionális szám fogalmától. Mi sem illusztrálja ezt ékesebben, mint a fogalomnak adott név: alogon, vagyis a kimondhatatlan.


A pentagramma

Hippászosz bizonyítása formálisan helyesnek tűnt, és eddigi, megingathatatlannak látszó világképükben kételkedni kezdtek. Mai szemmel talán éppen fordított a helyet: a görögök heves reakciója láttán abban kezdhetünk kételkedni, hogy az irracionális számokra épített világképünk vajon minden szempontból helytálló-e? A pitagoreusok úgy vélték, hogy Hippászosz kinyitotta Pandora szelencéjét, és szigorúan megtiltották mindenkinek, hogy az irracionális számokról beszéljen. Az ilyen tiltásoknak többnyire ugyanaz a hatása: gyorsan terjed az új gondolat, és így történt ez esetünkben is. Mi lehet olyan borzasztó egy nem racionális számban, hiszen nap mint nap találkozunk, szorzunk, összeadunk ilyen számokat. Látni fogjuk, hogy a görögök nem kisebb dolgot féltettek, mint fizikai világképünk racionalitását. Érezték, hogy a Hippaszosz által felfedezett számokban van valami furcsa, ami ellentmond a józan észnek, de nem tudták nevén nevezni ezt a furcsaságot, erre két évezredet kellett még várni. Apróbb furcsaságok azonban már a kezdet kezdetétől jelentkeztek. Természetes kérdésként vetődött fel az irracionális számok kiszámítása (vagyis számjegyeik meghatározása), és ez a probléma sokáig hatott megtermékenyítően a matematikára.








A pentagramot, vagyis a megszakítatlan, önmagába visszatérő, ötször megtörő és önmagát ötször metsző vonallal megrajzolt ötágú csillagot a belőle áradó mágikus erő miatt egykor az ördögök, démonok elijesztésére, távoltartására használták. A pentagramnak elsősorban azért tulajdonítottak mágikus erőt, mert többszörösen magába foglalja azt az évezredek óta ideálisnak és tökéletesnek tartott arányt, amelyet egyebek közt aranymetszésnek (sectio durea) isteni metszetnek (sectio divina) és isteni aránynak (divina proportione) neveznek, s amelynek első meghatározását (a:b=b:[a+b]) Euklidész geometriai tankönyvéből ismerjük. Európában a középkor és az újkor folyamán gyakran festettek vagy karcoltak pentagramot a házak küszöbére, hogy megoltalmazzák a ház lakóit a rontástól, és elriasszák a démonokat.
   



Hajtogassunk ötszöget és pentagrammát!

Ha egy papírszalagra csomót kötünk, akkor szabályos ötszög keletkezik!
Ha a fény felé tartjuk és átnézünk rajta, láthatjuk benne a csillag-ötszöget?
Most hajtogassuk szét a csomót! Próbáljuk meg beszínezni azonos színnel azokat a részeket, amelyek a papírszalag azonos oldalára esnek!



Szabályos hatszög





A zsidóság jelképe a "Dávid-csillag", amit "Dávid-pajzsnak"-nak is neveznek. Ez a két, egymásba illesztett háromszögből képzett hatágú csillag az Ég és Föld egymásra találását fejezi ki, a földi világ Istentől való áthatottságára utal.

A hét klasszikus planéta hexagramja. A középen elhelyezkedő hatszög (Nap) a színek összességét magába foglaló fehéret, a bal felső háromszög (Mars) a vöröset, a bal alsó (Merkúr) a narancsot, az alsó (Hold) a sárgát, a jobb alsó (Vénusz) a zöldet, a jobb felső (Jupiter) a kéket, a felső ( Szaturnusz) pedig a lilát képviseli.
   
A Salamon pecsétje néven ismert, két egyenlő oldalú háromszögből összetevődő hatágú csillagot a makrokozmosz jeleként szokták értelmezni. A lefelé álló háromszög az alsó, azaz az anyagi világot, a felfelé álló háromszög a felső, azaz a szellemi világot jelképezi, összekapcsolódásuk  pedig a kettő egységét fejezi ki.

Hajtogassunk hatágú csillagot!







Gyerekek kedvenc körzős játéka : rozetta rajzolása – szerkesztése.

                  








Minden egészséges emberben „ott van” a szabályos ötszög – vagy a pentagramma…
Állj így Te is! Mozdítsd meg sorban a testrészeidet: fej – jobb láb- bal kéz – jobb kéz – bal láb – fej.



Képzeld el, hogy ezt az ötszöget lerajzoltuk a földre! Járjuk le sorban a testrészeknek megfelelő pontokat: fej – jobb láb- bal kéz – jobb kéz – bal láb – fej.

-          Járjuk le egyszerre többen  - több ötszögben a földön – úgy, hogy hangosan számolunk és egyszerre mozdul mindenki.
-          Próbáljuk meg úgy lejárni, hogy öten állnak egy képzeletbeli, földre rajzolt pentagramma csúcsaiban és hangos számolásra a fenti sorrendet szigorúan követve mindenki egy –egy helyet mozdul odébb.

-          Álljunk meg ott, ahol az átlón az aranymetszést gondoljuk! Méréssel ellenőrizzük!






3 -3 gyerek fogjon meg egy –egy kb. 2 méteres szalagot. Próbálják úgy kifeszíteni összefogva, hogy egy –egy szabályos háromszöget alkossanak.
Álljanak úgy, hogy a két háromszög a csúcsánál találkozzon. Mozduljanak egymás felé a háromszögek úgy – egymáson át; alul-felül tartva-, hogy hatágú csillaggá formálódjanak.
Ellenőrizzük, mennyire maradtak szabályosak a háromszögek?


 



Álljon 12 gyerek körbe! Helyezkedjenek el úgy, mint az óra számlapján a számok! Minden második vegye a kezébe gombolyagot, s fogja meg a fonalat s adja tovább. Így kifeszítenek egy szabályos hatszöget. más színű fonalakkal feszítsék ki az átlókat. Az egyforma hosszúakat egyforma színnel. Hányféle színt kell használniuk? Hány egyforma hosszú átló van?






Hold és csillagok: Az utóbbi évek divatja, hogy a fára holdat és hatágú csillagot - Dávid csillagot - is akasztunk. Ez az eredetileg nem csak zsidó jelkép két egyenlő szárú háromszög együttese, és a férfi-nő, anyag-lélek, levegő-föld, tűz-víz ellentétpárok harmonikus egységét szimbolizálja. Az ötágú csillag az Istenember csillaga is lehet karácsonyi jelkép.



A betlehemi csillag bizonyos értelemben véve Dávid csillaga, hiszen Bálám próféta jóslata szerint a Messiás Csillag, amely Dávid házából ered, s Dávid városában, Betlehemben fog megszületni -  IV.Mózes 24 ,17) A keresztény felfogás szerint az Epiphaniának  nem a 6, hanem az 5 ágú csillag a jelképe. Ebben nyilvánvalóan szerepet játszott az elszakadás szándéka a zsidó hagyományoktól, de ennek a választásnak is van értelme. Az ötágú csillag (pentagramma, lúdláb, boszorkányötszög ) a Vénusznak volt egyik csillagjelvénye a 8 ágú mellett; úgyis, mint esthajnalcsillagnak, úgyis, mint boszorkányos természetű háború- és szerelemistennőnek ( a lúd az ő madara volt).
Az ókori papcsillagászok tudták, hogy addig, míg az estcsillagból hajnalcsillag lesz, 584 nap telik el, s hogy 5 ilyen ciklus kereken nyolc földi ciklusnak felel meg. Ezt geometrikus jelként úgy ábrázolhatjuk, mint egy 8 éves ciklust jelző körbe írt 5 ágú csillagot. 



Pásztor-betlehem – ötágú csillaggal



Király - betlehem – hatágú csillaggal


Feladatok:
-       Van –e olyan sokszög, amelynek ugyanannyi átlója van, mint oldala?

-         Adott egy szakasz. Osszuk fel két részre úgy, hogy a rövidebb arány a hosszabbhoz annyi legyen, mint a hosszabb aránya az egészhez.

-                   -         -Egy téglalap két részre bontható úgy, hogy az egyik rész négyzet, a másik pedig az eredetihez hasonló téglalap. Határozzuk meg az oldalainak arányát!




          - A szabályos hatszög átlói egy kis hatszöget alkotnak, melynek területe 6 cm2. Mekkora a nagy hatszög területe?


    - A hópehelygörbénél az első lépésben egy egyenes szakasz középső harmadában egy fogat hoznak létre (szabályos háromszöget). Vagyis a szakasz középső harmada fölé egy szabályos háromszöget rajzolnak, elhagyva azt a szakaszt, amely fölé rajzolták. A következő lépésekben minden újabb szakasz középső harmadában kialakítják ugyanazt a fogat. Ha ezt az eljárást elég sokszor ismétlik egy szabályos hatszög oldalain, akkor egy olyan alakzat jön létre, amely egy hópehelyhez hasonlít. Ezért nevezik a fenti eljárással készült görbét hópehelygörbének. Milyen hosszú annak a hatszögnek az oldala, amelyből kiindulva a 5. lépésben 36864 mm hosszúságú hópehelygörbéhez jutunk?