2011. december 20., kedd

Győzd le a tanárt! Hópelyhek




67. fogás

Győzd le a tanárt!
Valósítsd meg az álmodat!
Matematika- 9. osztály – szimmetria, szögek… Hópelyhek 

- Magyarázzuk el, hogy a következőkben leírunk egy eljárást, elolvasunk egy szöveget, felírunk egy bekezdést a táblára, bemutatunk egy gyakorlati műveletet, elmagyarázunk egy fogalmat, számítást végzünk, ábrát rajzolunk, stb., s közben feltehetően elkövetünk néhány hibát.( Az alábbi szövegben sárga aláfestést kaptak  a hibák, utána zárójelben van a helyes szöveg).
-A diákok feladata, hogy egyéni munkával felfedezzék a hibát, s jegyzetet készítsenek róla.
- A tanár bemutatója után a gyerekek párokat alkotva hasonlítsák össze az eredményt és egy közös listát készítsenek.
- A tanár megkéri a párokat, hogy mindenki mondjon el egy –egy hibát.
- Végezetül az összegzett javításokat jegyezzék le.

Az alábbi szövegben kiemelve jelennek meg a hibás mondatok!

 A felső légkörben kialakult hópelyhek nem minden esetben okoznak havazást a felszínen. Ez csak akkor jön létre, ha a hőmérséklet fagypont körül van.



Ha a hópelyhek az esés során egy melegebb légrétegen haladnak át, akkor részlegesen megolvadnak, majd a meleg légrétegből kikerülve újra megfagynak. Ilyenkor apró jéglemezkék alakulnak ki. Amikor ezek elérik a felszínt csapadék formájában, akkor beszélünk ónos esőről.




"Fagyos" esőnek nevezzük azt a jelenséget, amikor a meleg légréteg elég vastag ahhoz, hogy a hópehely teljesen megolvadjon és víz formájában éri el a hideg felszínt, ahol a földet érés után fagy meg újra. 
 



 Az emberek egy része örült a havazásnak, a másik része pedig nem. Következő írásom a hópehely életéről szól, a megszületéstől a földet érésig.
 A hópelyhek a Föld ALSÓ / felső / légkörében keletkeznek, ott, ahol a víz kapcsolatba lép egy apró porszemmel vagy pollennel.  A folyamatot akkumlációnak nevezzük. Az apró szemcse megfagy és egy kicsi jégkristályt alkot, amely a hópehely magját adja.
A mag köré kiváló jégkristályok a természetben hexagonális szimmetriát alakítanak ki, ennek következménye, hogy a kialakult hópehely hatos szimmetriát mutat, amely a képen jól látható.
Három szimmetriatengelye van. Középpontosan nem szimmetrikus. / 6 szimmetriatengelye van és középpontosan szimmetrikus./
(Az egyes ásványok fizikális megjelenési formái és azok szimmetriája alapján 7 kristályrendszertani osztályt különítettek el. A hexagonális osztályban a 6-os szimmetria a jellemző)
A frissen kialakult hópehely, a gravitáció hatására ELLENÉRE  elkezd FELFELÉ ( a felszín felé esni,) és az esés alatt folyamatosan növekszik, ahogy nedvesebb légtömegeken halad keresztül. Növekedése szisztematikus, a hexagonális szimmetriát megtartja.
Azonban az egyes pelyhek nagy mértékben hasonlítanak egymásra, a szimmetriájuk ,alakjuk, megjelenésük megegyezik. /Azonban az egyes pelyhek nem hasonlítanak egymásra, csupán a szimmetriájuk egyezik meg, alakjuk és megjelenésük azonban nagyon változó lehet./



A Koch-féle hópehely 
A RAJZ JÓ LESZ, CSAK A KÍSÉRŐ SZÖVEG NEM MINDIG

Helge von Koch svéd matematikus 1904-ben egy különös geometriai alakzatot írt le, amely nagy fejtörést okozott az akkori matematikus társadalomnak.
Induljunk ki egy egységnyi oldalú háromszögből!
Mindhárom oldalára állítsunk egy ¼  / 1/3 / oldalú háromszöget!

Ismét minden oldalra állítsunk egy negyed  /harmad/ oldalú háromszöget!

Majd újra!
És így tovább a végtelenségig…

Mekkora a Koch-féle hópehely kerülete?
Az alábbi ábra alapján meghatározhatjuk a kerület számításának szabályát.
Láthatjuk, hogy az egyenes szakaszok hossza minden lépésben négyharmadszorosára nő.

K1 = 3
K2 = 3* 4/3
K3 = 6*8 * 1/9
Tehát a kerület képlete:
Mivel a képzési lépések száma végtelen, a kerület is végtelen nagy lesz.
(A képlet elején a hármas szám a kiindulási háromszög kerületét jelenti.)

Mekkora a Koch-féle hópehely területe?
Pontosan nem határozzuk meg a területet, de annyit megállapíthatunk,
hogy az alakzat a kezdő háromszög köré írt
hatszögön /  körön / belül helyezkedik el,
így területe bizonyosan kisebb, mint a fent említett köré.
(Továbbá láthatjuk, hogy belül van a második ábra köré rajzolt hatszögön is.)
A Koch-féle hópehely egy véges területen elhelyezkedő végtelen hosszú görbét ír le. Így hosszúságban nem különbözik egy szintén végtelen (, az egész világegyetemet átszelő) euklédeszi egyenestől, viszont elfér akár az előttünk lévő monitor képernyőjén is. Sőt bármilyen kicsiny háromszögből is indulunk ki, minden esetben végtelen hosszúságú görbét kapunk eredményül. A Koch-féle hópehely az egyik legegyszerűbben leírható fraktál, amely minden szinten nagyszerűen mutatja az önhasonlóság tulajdonságát.
  
Egyetlen más anyag kristályosodása sem történik olyan változatosan, mint a vízé.
A hópelyhek szerkezetében öltenek legtisztábban alakot a természetes fraktálok.

 

A  hópehely minden egyes ága  más – más /  ugyanazt / a mintát követ.

A hópehely keletkezésének Koch-féle fraktálábrázolása talán nem adja vissza híven, milyen szerkezeti változások mennek végbe egy-egy dermesztő téli napon, matematikai szempontból azonban kifogástalanul írja le a hópelyhek fraktáltermészetét.



A fraktálgeometriában az adott alakzat kerületének hossza folyamatosan, határtalanul növekszik, területe azonban csak lassan nő.
Matematikailag igazolható, hogy a hópehely területe sohasem haladja meg az eredeti kiindulási háromszög területének 8/5-ét, vagy 1,6-szorosát. Már megint azok a Fibonacci számok!
Míg a hópehely területe behatárolt, addig a kerülete korlátlan - ez minden fraktálgeometriai tárgyra jellemző. A természetben azonban kell, hogy legyen valamiféle határ - a hópehely esetében ez a molekuláris szint.


A hatos szám

A kínaiak is számokkal magyarázták a hópelyhek tulajdonságait. A legkorábbi feljegyzés talán Kr. e. 135-ből, Han Jingtől származik: "A növények és a fák virágai általában ötágúak, a hó azonban... mindig hatágú alakzatokat alkot." A tudós Thang Cshin a püthagoreusokhoz hasonlóan érvelt: "A víz igazi száma a hatos. Ha a víz virágokká fagy, akkor a virágoknak (a hópelyheknek is) hat szirmuk kell, hogy legyen".
Századokkal később, 1611-ben Johannes Kepler tette fel ismét a kérdést - miért alkotnak éppen hatszöget? - és megpróbálta megfejteni a hópelyhek geometriáját.
Robert Hooke (1635-1703) mikroszkóp alatt megvizsgálta és vázlataiban megörökítette őket a 17. század elején. (Hooke tudományos eredményei közé soroljuk a rugók harmonikus mozgásának vizsgálatát, valamint számos newtoni felfedezés megelőlegezését is.)

A befagyó víz

A jég sűrűsége
nagyobb / kisebb/  a vízénél, ezért van az, hogy a jég úszik a vízen. A hópelyhek hatszögű alakzata a jégben is megmutatkozik, mivel minden egyes vízmolekula hexagonális szimmetriájú hidrogén-híd szerkezettel rendelkezik. Ezért valószínűnek látszik, hogy a hópelyhek formációit a molekuláris kötések befolyásolják - avagy, a kínai tudós szavaival élve:"a víz igazi száma a hatos".






 Készítsünk papírból hópehely – mintát!

-          a ) Hajtsuk végre az alábbi papírhajtogatást és vágást !


b) Ugyanezt a hatást elérhetjük így is:  / nem! Így nyolcszög lesz!/





Ez egy rossz sablon a hatszögmintához, hiszen a négyszög negyedéből indul ki. / Ez jó sablon a hatszögmintához!/

Nincsenek megjegyzések:

Megjegyzés küldése