NÉVJEGYKÁRTYÁK és EGY AZ EGYHEZ TELJES INDUKCIÓ

103.  fogás

NÉVJEGYKÁRTYÁK és EGY AZ EGYHEZ;

TELJES INDUKCIÓ  -   12. OSZTÁLY

Ez az egyszerű ötlet lehetővé teszi a tanulóknak, hogy egy kártya felmutatásával vagy a padra való kihelyezésével jelezzék válaszukat.

Minden diák kapjon egy piros, egy sárga és egy zöld  A/6 –os méretű kártyát.

Az egyedüli szabály: a becsületesség!

Az alábbi lehetőségek alkalmazása ajánlott a nehezebb, hosszabb, összetettebb  feladatok megoldásánál, bizonyítások levezetésénél;pl. a teljes indukció tanításakor.

A kártyákat használhatjuk:

-           a zavarodottság jelzésére, (kiváló diagnosztikai eszköz) ha azt mondjuk:  „Emeljétek fel a sárga kártyát, ha kezditek elveszíteni a fonalat!” vagy „Emeljétek fel a piros kártyát, ha teljesen elveszítettétek a fonalat!” .

-           Azonnal ellenőrizhetjük a megértést, - a tanár bármikor megállhat és kérheti a kártyák felmutatását, hogy eddig mindent megértettek- e vagy csak félig értik, vagy fogalmuk sincs a dologról… Aki érti: zöldet mutat fel; aki félig – meddig tudta követni : a sárgát és aki nem érti egyáltalán: pirosat.

( Ha nincs mód színes kártyákat kiosztanunk, akkor megteszi a zöld helyett mind a két kézzel való jelentkezés;  a sárga helyett az egyik  kézzel való jelentkezés és a piros helyett a „csendes hallgatás”…)

A TELJES INDUKCIÓ  - magyarázat

 A dedukció a bizonyító okoskodás egyik fajtája. Dedukción egy általános érvényű kijelentés sajátos esetre való alkalmazását értjük. A matematikában lépten-nyomon találkozunk dedukcióval.

Példa:

Egy konvex n-oldalú sokszög szögeinek összege 180(n-2).

Az ötszög 5 oldalú sokszög. Tehát az ötszög szögeinek összege 180(5-2)=540.

 Az indukció a dedukcióval ellentétben a sajátosból indul ki. Az indukció alapja a megfigyelés. A megfigyelés eredményeként sejtések jöhetnek létre. Például Goldbach a XVIII. században a természetes számok tulajdonságait tanulmányozva észrevette, hogy a 4- nél nagyobb páros számok előállíthatók két prímszám összegeként: 8=3+5, 10=3+7=5+5, 12=5+7, 14=3+11=7+7, 16=3+13=5+11, 18=9+9. Megfigyelését más példákkal támasztotta alá, bármilyen konkrét páros számot tekintett, azt sikerült felbontania két páratlan szám összegére. Mindazonáltal sejtését mind a mai napig nem sikerült bizonyítani. Így a mai napig nem tudni biztosan, hogy az ő sejtése igaz-e.

Leonard Euler találta az
n² - n + 41 polinomot, amelybe behelyettesítve természetes számokat, prímeket kapunk.

a₁ = 1² -1 + 41 = 41   prím

a₂ = 4 – 2 + 41 = 43   prím

…

a₃₉                                            prím

a ₄₀ = 1600 – 40 + 41  = 1601   prím

  1-től 40-ig minden n-re prímszámot ad.

 Vajon igaz ez tovább is?

a₄₁ = 41² – 41 + 41 = 41 ²     - nem prím!!!

Igen sok ilyen példát találhatunk, amelyben az induktív okoskodás hamis következtetéshez vezetett. Ez azonban a módszer értékét nem csökkenti, csak nyilvánvalóvá teszi, hogy az indukcióval történő okoskodást össze kell kötni bizonyító okoskodással, amely biztosítsa az indukcióval megsejtett eredmény helyességét. Egy ilyen bizonyító okoskodás, amely szervesen kötődik az induktív okoskodáshoz, a matematikai indukció vagy más néven a teljes indukció.

A teljes indukció első írásos emléke 1575-ből származik. Ekkor bizonyította Francesco Maurolico Arithmeticorum libri fuo című művében, hogy az első n páratlan szám összege n².

A teljes indukció módszere a dominóeffektusra hasonlít. A teljes indukció elve szemléltethető például egy egymás után felállított, elvileg végtelen hosszú dominósorral. Ha az első dominót meglökjük, és mindegyik dominó ledönti az utána következőt, akkor az összes dominó ledől.

A matematikai indukciót, mint bizonyítási módszert 1665-ben Pascal írja le először a kombinációs összefüggések bizonyításakor a következőképpen: "Bár ez az állítás végtelen sok esetet tartalmaz, igen rövid bizonyítást adok rá, amely két lemmán alapszik. Az első az állítja, hogy a kijelentés igaz az első sorra. A második az állítja: ha a kijelentés igaznak bizonyul egy sorra, akkor szükségszerűen igaz a következő sorra is." 

Példa:

Bizonyítsa be, hogy 6|(n²+5)n, (n pozitív egész)!

Egy az egyhez    -   kortárstanítás!

1. Párokban dolgozik tovább az osztályt!
2. A tankönyvben / fénymásolaton szerepel több feladat a részletes megoldásukkal együtt a teljes indukcióhoz kapcsolódóan. Jelöljük ki az egyes pároknak 2-2 a feladatot!
3. 5-7 perc alatt mindenkinek el kell olvasni és meg kell érteni a feladatot és el kell készíteni a következő szakaszban felhasználandó segédletet , vázlatot – színekkel, ábrákkal.
4. Ezután a párok tagjai az előzőleg kidolgozott segédanyag felhasználásával tanítsák meg egymásnak az általuk feldolgozott feladatot. A tanár járjon körbe, és javítsa ki az esetleges pontatlanságokat!
5. Végezetül oldjanak meg együtt egy újabb feladatot a témához kapcsolódóan.

A tankönyvi – kidolgozott- feladatok:

Egy      példa:

Hány részre osztja a síkot egy adott P ponton átmenő n darab, egy síkban levő egyenes?

Egyéb feladatok:

           

1.   példa  Egy polcon adott n könyv egymás mellett. Hányféleképpen vehetünk le közülük néhányat úgy, hogy ne vegyünk le közülük szomszédosakat?

2.   példa

Tétel: Egy n elemű véges halmaz részhalmazainak száma 2ⁿ.

A kortárs tanítás után oldják meg a párok a kitűzött feladatok valamelyikét. A feladatonként elsőként helyes megoldást leíró párt jutalmazzuk!