Átalakítás - A Cavalieri elv - 12.osztály; térgeometria

114. fogás  

 Átalakítás   -   A Cavalieri - elv  - 12.osztály; térgeometria

A tanulás teljes kihasználása érdekében fogadtassuk el a gyerekekkel azt a gondolatot, hogy minden anyag átalakítható!

A diákok azt feladatot kapják, hogy a kapott tananyagot felhasználva alakítsák át más formátumúvá az adathalmazt..

Az anyag csak akkor alakítható át, ha a diákok megértették. Ez a technika gondoskodik arról, hogy mélytanulásra kerüljön sor!

A diákok ezt a módszert sikerrel alkalmazhatják otthon is, önálló tanulási és ismétlési készséggel ruházza fel őket.

A különböző módszerek jól illeszkednek a különböző tanulási stílusokhoz!

Példák:

átalakítás:           - szöveget elmetérképpé;

                               - szöveg ábrává, ábrasorozattá;

                               - modell leírása, lerajzolása;

                               - szöveg matematikai képletekké;

                               - rajzot szöveggé;

                              

A diákok az átalakítást nemcsak egyedül, hanem párosával is végezhetik.

1.       Cavalieri elv  -  pénzérmék; modellezés  ( életrajz   - időkitöltő  , átalakítás vázlattá; elmetérképpé )

2.       Cavalieri elv  -  CD- tokok; modellezés

3.       Cavalieri elv  -  CD- tokok; és a Hajós György féle megjegyzés valamint a pontos megfogalmazás; modellezés

4.       A Cavalieri elv  ferde hasábra alkalmazva

5.       Cavalieri elv  leírás (csak szöveg)  a gömb térfogata   - alakítsák rajzzá az olvasottakat

6.       Cavalieri - elv  leírás , kép, - képletek nélkül a gömb térfogata   - alakítsák át képletekkel megadott matematikai levezetéssé az olvasottakat

7.       rajz szöveges értelmezése  ( Cavalieri - elv alkalmazása félgömb térfogatának kiszámítására)

 példák:

·        1.    

Cavalieri - elv szerint:
Ha egy síkon két olyan test van, amelyek

1. alapterülete egyenlő, és
    
2. az alaplapjukkal párhuzamos bármely síkkal képzett síkmetszetük páronként egyenlő területű,

akkor a két test térfogat egyenlő.

Ø Modellezd a Cavalieri – elvet a pénzérmékkel!

Ø Készíts időszalagot, amelyen feltünteted Cavalieri életének fontosabb eseményeit!

Ø Készíts gondolattérképet, amelyen feltünteted azokat a matematikai témákat, amelyekkel Cavalieri foglalkozott! Ügyelj a kapcsolatok áttekinthetőségére!

          

Cavalieri, Francesco  Bonaventura(1598-1647)
Cavalieri, olasz matematikus, geometriai eredményei hozzájárultak az integrálszámítás megalapozásához. Cavalieri gyermekként csatlakozott a Szent Jeromos Apostol Papjai szerzetesrendhez, amely Szent Ágoston tanait követte. Euklidész művei felkeltették matematikai érdeklődését, majd miután megismerkedett Galilei munkásságával, a nagy csillagász tanítványának tekintette magát. 1629-re, amikor a Bolognai Egyetem matematika professzorának nevezték ki, Cavalieri teljesen kifejlesztette az „oszthatatlan mennyiségek" módszerét, amely az integrálszámításhoz hasonló módon határozta meg a geometriai alakzatok méretét. Eredményeit hat évig nem közölte, mivel mestere, Galilei hasonló munkát tervezett. Cavalieri műve 1635-ben jelent meg Az oszthatatlan mennyiségeknek új módszerrel kidolgozott geometriája címen. Módszerét súlyos bírálatok érték, így Cavalieri tökéletesítette elméletét és a Hat geometriai kísérlet (1647) c. művében közzétett változatot a matematikusok széles körben alkalmazták a XVII. század folyamán. E két mű tette nevét halhatatlanná. A maga korában mindkettő komoly vetélytársa volt Kepler Hordószámítás című művének. Ezekben dolgozta ki Kepler és Galilei elképzelései nyomán az oszthatatlanok elméletét. Visszament Arkhimédésznek ahhoz az alapötletéhez, hogy egy síkidomot párhuzamos húrjai vagy egy testet párhuzamos síkmetszetei összességének tekintett. Ez valójában a geometriában tarthatatlan atomos felfogás. A síkidom atomjai, oszthatatlanjai a húrok, a testé pedig a síkmetszetek. Ezt a gondolatot továbbfejlesztve építette fel terület- és térfogatszámítási eljárását, amely később a határozott integrál fogalmához vezetett.

Abban az időben ( XVII. század) fontossá váltak a mozgás, a folyamatosság és a végtelen kérdései. A végtelen, filozófia és teológiai fogalmai a matematikában is kezdték éreztetni a hatásukat. Cavalieri az "oszthatalanokról" korábban kialakult elképzelések alapján a síkidomokat párhuzamos húrokból, a testeket párhuzamos síkmetszetekből állóknak képzelte. Így a síkidom illetve a test "oszthatatlanok" összessége. Ennek alapján fogalmazta meg a térfogatszámításban ismertté vált, un. Cavalieri-elvet, amelynek segítségével több olyan test térfogatát is kiszámította, amelyet addig nem tudtak meghatározni.

Egyéb művei: Directorium Generall Uranometrikum (logaritmus számítás), Az égő tükör, avagy értekezés a kúpszeletekről, Lineáris és logaritmikus sík- és gömbháromszögtan.
Összeállította a szögfüggvények logaritmus táblázatát. Neve összekapcsolódik az oszthatatlanok elméletével. A közönséges törtek tizedes törtté való alakítását Cavalieri tanulmányozta először.

 

4.  

Ø Készíts értelmező ábrát, ábrákat az alábbi szöveghez!

Ferde hasáb térfogata: A Cavalieri - elv segítségével határozzuk meg.

Cavalieri - elv: Ha két testhez van olyan sík, hogy valamennyi vele párhuzamos sík belőlük páronként azonos területű síkmetszetet vág ki, akkor a két test térfogata egyenlő.

Egy adott ferde alapú hasábhoz mindig található olyan egyenes hasáb, amelyeknél az alaplappal párhuzamos síkmetszetek páronként egyenlők. Mivel az egyenes hasáb térfogata V=Tm, ezért a ferde hasáb térfogata is: V=Tm.