114. fogás
Átalakítás - A
Cavalieri - elv - 12.osztály; térgeometria
A tanulás
teljes kihasználása érdekében fogadtassuk el a gyerekekkel azt a gondolatot,
hogy minden anyag átalakítható!
A diákok azt feladatot kapják, hogy a kapott tananyagot felhasználva alakítsák át más formátumúvá az adathalmazt..
A diákok azt feladatot kapják, hogy a kapott tananyagot felhasználva alakítsák át más formátumúvá az adathalmazt..
Az anyag
csak akkor alakítható át, ha a diákok megértették. Ez a technika gondoskodik
arról, hogy mélytanulásra kerüljön sor!
A diákok ezt
a módszert sikerrel alkalmazhatják otthon is, önálló tanulási és ismétlési
készséggel ruházza fel őket.
A különböző
módszerek jól illeszkednek a különböző tanulási stílusokhoz!
Példák:
átalakítás: -
szöveget elmetérképpé;
-
szöveg ábrává, ábrasorozattá;
-
modell leírása, lerajzolása;
-
szöveg matematikai képletekké;
-
rajzot szöveggé;
A diákok az átalakítást nemcsak egyedül, hanem párosával is
végezhetik.
1.
Cavalieri elv
-
pénzérmék; modellezés ( életrajz - időkitöltő
, átalakítás vázlattá; elmetérképpé )
2.
Cavalieri elv
-
CD- tokok; modellezés
3.
Cavalieri elv
-
CD- tokok; és a Hajós György féle megjegyzés valamint a pontos megfogalmazás; modellezés
4.
A Cavalieri elv
ferde hasábra alkalmazva
5.
Cavalieri elv
leírás (csak szöveg) a gömb
térfogata - alakítsák rajzzá az
olvasottakat
6.
Cavalieri - elv
leírás , kép, - képletek nélkül a gömb térfogata - alakítsák át képletekkel megadott
matematikai levezetéssé az olvasottakat
7.
rajz szöveges értelmezése ( Cavalieri - elv alkalmazása félgömb
térfogatának kiszámítására)
példák:
·
1.
Cavalieri - elv szerint:
Ha egy síkon két olyan test van, amelyek
Ha egy síkon két olyan test van, amelyek
- alapterülete egyenlő, és
- az alaplapjukkal párhuzamos bármely síkkal képzett síkmetszetük páronként egyenlő területű,
akkor a két test térfogat egyenlő.
Ø Modellezd a
Cavalieri – elvet a pénzérmékkel!
Ø Készíts
időszalagot, amelyen feltünteted Cavalieri életének fontosabb eseményeit!
Ø Készíts
gondolattérképet, amelyen feltünteted azokat a matematikai témákat, amelyekkel
Cavalieri foglalkozott! Ügyelj a kapcsolatok áttekinthetőségére!
Cavalieri,
olasz matematikus, geometriai eredményei hozzájárultak az integrálszámítás
megalapozásához. Cavalieri gyermekként csatlakozott a Szent Jeromos Apostol
Papjai szerzetesrendhez, amely Szent Ágoston tanait követte. Euklidész művei
felkeltették matematikai érdeklődését, majd miután megismerkedett Galilei
munkásságával, a nagy csillagász tanítványának tekintette magát. 1629-re,
amikor a Bolognai Egyetem matematika professzorának nevezték ki, Cavalieri
teljesen kifejlesztette az „oszthatatlan mennyiségek" módszerét, amely az
integrálszámításhoz hasonló módon határozta meg a geometriai alakzatok méretét.
Eredményeit hat évig nem közölte, mivel mestere, Galilei hasonló munkát
tervezett. Cavalieri műve 1635-ben jelent meg Az oszthatatlan mennyiségeknek új
módszerrel kidolgozott geometriája címen. Módszerét súlyos bírálatok érték, így
Cavalieri tökéletesítette elméletét és a Hat geometriai kísérlet (1647) c.
művében közzétett változatot a matematikusok széles körben alkalmazták a XVII.
század folyamán. E két mű tette nevét halhatatlanná. A maga korában mindkettő
komoly vetélytársa volt Kepler Hordószámítás című művének. Ezekben dolgozta ki
Kepler és Galilei elképzelései nyomán az oszthatatlanok elméletét. Visszament
Arkhimédésznek ahhoz az alapötletéhez, hogy egy síkidomot párhuzamos húrjai
vagy egy testet párhuzamos síkmetszetei összességének tekintett. Ez valójában a
geometriában tarthatatlan atomos felfogás. A síkidom atomjai, oszthatatlanjai a
húrok, a testé pedig a síkmetszetek. Ezt a gondolatot továbbfejlesztve építette
fel terület- és térfogatszámítási eljárását, amely később a határozott integrál
fogalmához vezetett.
Abban az időben
( XVII. század) fontossá váltak a mozgás, a folyamatosság és a végtelen
kérdései. A végtelen, filozófia és teológiai fogalmai a matematikában is
kezdték éreztetni a hatásukat. Cavalieri az "oszthatalanokról"
korábban kialakult elképzelések alapján a síkidomokat párhuzamos húrokból, a
testeket párhuzamos síkmetszetekből állóknak képzelte. Így a síkidom illetve a
test "oszthatatlanok" összessége. Ennek alapján fogalmazta meg a
térfogatszámításban ismertté vált, un. Cavalieri-elvet, amelynek
segítségével több olyan test térfogatát is kiszámította, amelyet addig nem
tudtak meghatározni.
Egyéb művei: Directorium Generall Uranometrikum (logaritmus számítás), Az égő tükör, avagy értekezés a kúpszeletekről, Lineáris és logaritmikus sík- és gömbháromszögtan.
Összeállította a szögfüggvények logaritmus táblázatát. Neve összekapcsolódik az oszthatatlanok elméletével. A közönséges törtek tizedes törtté való alakítását Cavalieri tanulmányozta először.
4.
Ø Készíts értelmező ábrát, ábrákat az alábbi szöveghez!
Ferde hasáb
térfogata: A Cavalieri - elv segítségével határozzuk meg.
Cavalieri - elv: Ha két testhez van olyan sík, hogy valamennyi vele párhuzamos sík
belőlük páronként azonos területű síkmetszetet vág ki, akkor a két test
térfogata egyenlő.
Egy adott ferde alapú hasábhoz mindig található
olyan egyenes hasáb, amelyeknél az alaplappal párhuzamos síkmetszetek
páronként egyenlők. Mivel az egyenes hasáb térfogata V=Tm,
ezért a ferde hasáb térfogata is:
V=Tm.
|
