NÉGYES PÁROS – A Fibonacci – sorozat a 12. osztályban

102.  fogás

NÉGYES PÁROS    FIBONACCI SOROZAT – REKURZÍV SOROZAT

Egyszerű, hatékony, együttműködésre épülő tanulási stratégia. A feladatmegoldásnál, szövegértelmezésnél felmerülő vita hatékonyan segíti a saját vélemény alkotását. Minél többet beszél és figyel a tanuló a csoportmunkában, annál több gondolat marad meg az elméjében.  A módszer ösztönzi az együttműködést,  gyakoroltatja a  beszéd – és odafigyelési készséget, erősíti a kapcsolatteremtő  nyelvi- és logikai intelligenciát.

Ebben a gyakorlatban érettségire készülő csoporttal a Fibonacci – sorozattal kapcsolatos feladatokat oldunk meg.

A diákok kapnak egy –egy leírást a Fibonacci sorozattal kapcsolatos érdekes jelenséggel kapcsolatban; pl.:

-          nyúlszaporítás

-          Fibonacci -  sorozat  természetben  - a brokkoli;

-          a Fibonacci- spirál;

-          a Fibonacci – négyzetek;

-          paradoxon – Fibonacci – rejtvény;

-          Fibonacci  számok és Ohm törvénye ;1 ohmos ellenállások kapcsolása;

-          zárt formula;

-          ki is volt Fibonacci?; (FILIUS BONACCI  - rövidítve:  Fibonacci  = Bonacci fia)

-          Fibonacci – nim;

-          Fibonacci – versek;

-          a Pascal – háromszög és a Fibonacci – számok…

A témákat úgy kell kiosztani, hogy a hamarosan kialakuló négyes csoportokba kerülő gyerekek ne kapjanak egyformát!

Önállóan dolgozzák fel, olvassák el a lapot; s ezzel felidézzük a 11. osztályban tanultakat a Fibonacci – számokról.

A következő részben a diákok párokat alkotnak.

Minden párnak két feladatot kell a Fibonacci –sorozattal kapcsolatban megérteni/megoldani, amely megbeszéléssel, közös döntések, eredmények elfogadásával jár. Az egyik feladat  a tankönyv kidolgozott feladata; a másik példa megoldásra váró új feladat.

Tankönyvi kidolgozott  feladatok ( Sokszínű matematika):

1.)    Hányféleképpen lehet n x 2 –es téglalapot 1 x 2 –es dominókkal egyrétűen és hézagmentesen lefedni?

2.)    Adjuk össze az elejétől kezdve az n –edikig a Fibonacci – sorozat páros indexű tagjait! Mit mondhatunk az összegről?

3.)    Adjuk össze a Fibonacci – sorozat tagjainak négyzetét az elejétől kezdve az n-edik tagig. Mi lesz ez az összeg?

4.)    Igazoljuk, hogy a Fibonacci – sorozat minden negyedik tagja osztható 3- mal!

Megoldásra váró példák:

1.)    Két meredek úton és egy azok között cikázó szerpentinen mehetünk fel a hegy lábától a hegy csúcsára.  Hányféleképpen lehet A-ból eljutni a K kilátóba, ha a meredek utakon és a szerpentinen – akár felváltva is- , de csak felfelé haladhatunk?

2.)     Egy lakótelepi házat úgy akarnak befesteni, hogy minden emelet vagy kék, vagy fehér legyen!  Esztétikai okokból kikötik, hogy egymás melletti két emelet nem lehet kék. Hányféleképpen lehet az utasításnak megfelelően kifesteni egy földszintes, egy egy – , egy két- és egy n - emeletes házat?

3.)    Terjed a járvány! Aki megkapja, az még két napig beteg, negyednapra meggyógyul, de betegsége mindkét napján egy –egy embert megfertőz. Hogyan alakul a friss megbetegedések száma napról napra,  ha az első napon egy ember volt csak beteg?

Miután a párok – megadott idő alatt végeztek,  vagy eljutottak valameddig a megoldásban / megértésben - „négyes párokat” alkotnak ( azaz hátrafordul egy – egy pár a mögötte ülő pároshoz).

A négyes páros mindegyik tagja aztán megosztja munkálkodásának eredményét a másik párossal. A négyes csoportok együttesen tovább folytatják a feladat megoldását, vagy ha készen van, az ellenőrzését.

Fontos, hogy a négyes csoportok bármelyik tagja képes legyen a táblánál az osztálynak elmagyarázni, az osztálytársakkal megértetni a feladatuk megoldását. ( Ezért a csoport felel, hiszen nem kapják meg a jutalompontot, ha van olyan társuk, aki elakad a táblai feladatbemutatásnál.) Tehát nemcsak megoldani kell a példát, hanem, ha szükséges, a csoporttagnak el is kell magyarázni azt.)

A tanár a négyes bármelyik tagját kiszúrhatja erre a szerepre, ahelyett, hogy a csoport „szóvivőt” küldene maga helyett.

A csoport tagjait lehet pl. (plusz) ponttal jutalmazni, ha – akár közülük kisorsolt, vagy a tanár által kiválasztott diák táblai feladatmegoldását megszakítva egy másik / aztán harmadik, aztán esetleg a  negyedik csoporttag jól tudja folytatni.

( Mivel az idő véges, lehet akár a csoportok közül is sorsolni, kiknek a feladatmegoldását  láthatjuk a táblánál…)

( Az is érdekes helyzet, a mindegyik négyesnek ugyanazt az új feladatot tűzzük ki, s sorsolással váltjuk a csoportok képviselőit a táblánál. Aztán mindenki megkapja a következő feladatot, s táblai munka az előzőhöz hasonlóan zajlik le.)

 Minta egy téma feldolgozásához:

Fibonacci-spirálba rendeződnek például a fenyőtoboz és az ananász pikkelyei, a napraforgó magjai.

                    .         

A piros vonalak mutatják az egyik irányt, a zöldek a másikat.

 
Ha megnézünk egy óriási napraforgót: a virágocskák két, egymást metsző spirálcsaládba rendeződnek, az egyik az óramutató járásával megegyező, a másik ellenkező irányba. Egyes fajtáknál az első spirálok száma 34, a másik spirál száma 55. Ez két egymás utáni Fibonacci-szám.