Kevert csoportok -- Az elveszett jelkép nyomában

101. fogás 

 Kevert csoportok  -- Az elveszett jelkép nyomában  

11., 12. osztályban év elejére

Lehetnek a csoportok kevertek, de az agy fogaskerekei azonban mégis mozognak, hiszen az osztály minden tagjának lehetősége van arra, hogy meghallgassa és megvitassa a többiek hozzászólását.

1. Mielőtt hozzáfognánk, magyarázzuk el a gyerekeknek a tanulási célt, a „Kevert csoportok” egész folyamatát! A feladatot ezután két részben végezzük el.
2. Osszuk fel az osztályt csoportokra. Minden csoport megkapja a feldolgozandó témáját, a célt, s a határidőt. Minden kidolgozott téma legyen más.
3. A csoportok nekifognak a számukra kijelölt feladat megoldásának értelmezéséhez. Arra kérjük őket, hogy mindenki igyekezzen a füzetébe minél részletesebben jegyzetelni.
4. Az eljárás közben mindenki maga felelős a megértésért és a szerzett információk pontos lejegyzéséért.
5. Az első szakasz vége felé a tanár az egyes csoportokon belül mindenkinek ad egy betűjelet: A,B,C,D,E, amely eldönti, melyik új csoportba kerül majd a következő szakaszban a diák.
6. A csoportok összekeverednek: az összes A jelű egy új csoportot alkot; a B-sek is, stb…
7. Ezekben az új csoportokban a diákok sorban beszámolnak az előzőekben szerzett tapasztalataikról, feladatmegoldásukról. Itt is jegyzetelniük kell!

Miért alkalmazzuk?  - Hogy gyakoroltassuk a kulcsfogalom azonosítását; a jegyzetelés, az összegzés képességét; hogy arra ösztönözzük a diákokat, hogy tetszőleges csoportban is eredményesen dolgozzanak.

Témák :

I.                    BŰVÖS NÉGYEZETEK

II.                  TITKOSÍRÁS

III.                PENTAGRAMMA

IV.                SZERKESZTÉSEK

V.                  ANAGRAMMÁK

VI.                PITHAGOREUSOK

VII.              PIRAMIS – TETRAÉDER

Íme, két téma:

BŰVÖS NÉGYEZETEK

(D é n e s  T a m á s matematikus  nyomán  )                                      

Nem egyedülálló a matematika történetében, hogy egyes fejezetei a szórakozás, a játék területén fogantak és hosszabb-rövidebb fejlődés után a matematika új fejezeteivé váltak. Ezt az utat járta be a kombinatorika egy alig 300 éves fejezete, a latin négyzetek elmélete.

/ Egy n-ed rendű latin négyzeten egy olyan n x n méretű négyzetes mátrixot értünk, amelynek soraiban és oszlopaiban az a_1, a₂,………,a_n  elemek mindegyike pontosan egyszer szerepel. /

1	2	3	4
2	3	4	1
3	4	1	2
4	1	2	3

n-ed rendű bűvös négyzetnek nevezünk egy olyan négyzetes mátrixbeli elrendezést, amelyben n² egész szám szerepel (általában, de nem szükségszerűen 0,1,………..,n²) és a négyzetes mátrix minden sorában, oszlopában, illetve két fő átlójában az elemek összege azonos.

A Lo Shu bűvös négyzet

ókori alakja teknősre festve és mai alakjában mátrixba rendezve

Az angol nyelv és a matematika házasságából született a jobb oldalon látható extra bűvös négyzet, amelyben nemcsak maguk a számok, hanem azok szavakkal leírt változatában a betűk száma is bűvös négyzetet eredményez.

Bolyai János bűvös négyzete

Bolyai János jegyzetei között fellelhető egy 3x3-as bűvös négyzet, ahol az alábbi jelölést használta:

x y a-x-y 2a-2b-2x-y b 2x+y-a-b x+y+2b-a a-y-b a-x-b

Bolyai a-val jelölte a 3x3-as bűvös négyzet sor, oszlop és átló összegeit.

FELADAT: Ha a = 15; számítsd ki a négyzet elemeit felírt összefüggésekből!

x	y	15-x-y
20-2x-y	5	2x+y-10
x+y-5	10-y	10-x

   

Albrecht Dürer bűvös négyzete

„Albrecht Dürer?

Katherine próbálta összeállítani a képet, miközben gyors léptekkel

haladtak Langdonnal az Adams épület alagsorán át. Az AD tehát Albrecht

Dürer szignója? A híres 16. századi német festő és metszetkészítő a fivére

egyik legkedvesebb művésze volt, és Katherine ismerte is valamelyest a

munkáit. De még így sem tudta elképzelni, hogyan segíthet nekik Dürer

ebben az esetben. Hogy mást ne mondjak, már több mint négyszáz éve

halott.

- Dürer szimbolikusan tökéletes választás - mondta Lang-don, miközben

követte a kijáratot jelző, megvilágított nyilakat. - Az egyik legnagyobb

reneszánsz elme... művész, filozófus, alkimista és az Ősi misztériumok

élethossziglani tanulmányozója... Ma már senki sem érti teljességükben azokat az üzeneteket, amelyeket a műveiben elrejtett…

…A Melankólia főalakja egy merengő figura volt, óriási szárnyakkal, aki egy

kőépület előtt ül és össze nem illő tárgyak bizarr gyűjteménye veszi körül -

egy mérleg, egy sovány eb, ácsszerszámok, egy homokóra, különféle mértani testek, egy harang, egy puttó, egy kés, egy létra...

…Ott, a háttérben. Az angyal háta mögött, a házfalon. A harang

alatt. Dürer bevésett oda egy négyzetet, számokkal teleírva…

…Katherine végre meglátta a négyzetet a számokkal, köztük az 1514-gyel.

A bűvös négyzet elnevezés nem valami misztikus dologra utalt, hanem

egyszerű matematikára. Egy négyzetrács, amelyben a számok összege

akárhonnan - sorokban, oszlopokban vagy átlósan - olvasva mindig

ugyanannyi. Egyiptomi és indiai matematikusok alkották meg mintegy

négyezer éve, de vannak, akik a mai napig varázserőt tulajdonítanak neki.

Katherine azt olvasta, hogy az indiai hívők még mindig különleges, kubera

kolammk nevezett, háromszor hármas mágikus négyzetet húznak a púdzsa

oltárokra. A modern ember számára azonban a bűvös négyzet elsősorban a

„játékos matematika" kategóriájába tartozik, egyesek nem szűnnek meg

élvezetet találni az újabb és újabb „mágikus" konfigurációkfelfedezésében. Szudoku lángelméknek…”

 

Egy-egy bűvös négyzet összeállítása a matematika történetének hajnalán még igen nehéz feladatnak számított, ezért nem csodálkozhatunk, hogy azoknak valamilyen mágikus erőt tulajdonítottak.

Dürer 4x4-es négyzete egész sor olyan érdekességet tartogat, amely a kor tudósait és laikus szemlélőit csodálattal töltötték el: nemcsak sorai, oszlopai és átlói adják ki összegként a 34-es bűvös számot, hanem pl. a négy sarok vagy a négy középső mező összege is 34-et ad.

Ráadásul az alsó sor közepén található 15 ; 14 összeolvasva pedig a metszet keletkezésének évszámát adja ki.

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

FELADAT  : Keressetek négy olyan mezőt, amelyben a számok összege 34, majd próbáljátok meg egy "hasonló" elhelyezkedésű számnégyest találni. Az alábbi két példa segítséget nyújt:

a)       b)