Add tovább a zsetont! - geomeria ismétlése

9. fogás

Add tovább  a zsetont! – helyett : Add tovább a feladatot! - variáció

A diákok párosával dolgoztak  és  8 percet kaptak, hogy egy bonyolultabb geometriai bizonyítás kidolgozott megoldását megértsék, feldolgozzák. 

Feladat : Az ABC hegyesszögű háromszög C-nél levő szöge 45°. M a háromszög magasságpontja. Bizonyítsuk be, hogy CM = AB!

A feladat kidolgozott megoldásait egyenként lapokra kinyomtattam és a padtársak elé tette.

Ennek a geometria példának azt az érdekessége, hogy 18, a középiskolások által is megérthető megoldása ismert.

A kapott lapra írhattak, kiegészítették az ábrákat, kijegyzetelték a megoldás szövegét; külön kértem, hogy használjanak színeket az egyes pontok, szakaszok, szögek, háromszögek kiemeléséhez a könnyebb érthetőség kedvéért.

Az idő leteltével tovább kellett adniuk a lapot a mögöttük ülő párnak és azt a lapot kellett (tovább) értelmezniük következő 5 percben, amit most újonnan kaptak.

A feladat jellege miatt lehetett volna még több kör is, de sajnos tanórai időkeret nem engedett többet. Ehelyett még egyszer megkértem őket, hogy adják hátra a lapjaikat s a kapott megoldásokat házi feladatként kell tanulmányozniuk, kijegyzetelniük, megérteniük.

Mivel minden körben más geometriai fogalomra, tételre kellett koncentrálniuk,  a diákok valóban éberek maradtak! 

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!  - Laczkó László nyomán

A feladat:  Az ABC hegyesszögű háromszög C-nél levő szöge 45°. M a háromszög magasságpontja. Bizonyítsuk be, hogy CM = AB!

Ízelítő  a megoldásokból:

I. megoldás 

A BM szakasz hossza legyen x, az MTB szakaszé y. BTBC háromszög egyenlő szárú, derékszögű. Ezért CTB hossza x+y. Az ATBM háromszög is egyenlő szárú, derékszögű. Ezért ATB=y. A CMTB, ATBB  háromszögek egybevágók, mert két-két oldaluk és közbezárt szögük egyenlő. Ezért AB=CM.  ( Íme egy lehetőség az ábra színezésre. A diákok  megoldás  gondolatmenetét követve színezték ki az egyes részeket. A kiemeléseknek köszönhetően a második, harmadik pár rövidebb idő alatt tudta megérteni a megoldást!)

II. megoldás 

TBBA∠ = ACM∠, mert merőleges szárú hegyesszögek. Az ATBB, CMTB háromszögek derékszögűek és még van egy-egy egyenlő szögük, ráadásul a BTB és CTB egymásnak megfelelő oldalak egyenlőek (a CBTB háromszög egyenlő szárú derékszögű) ezért a két háromszög egybevágó. Ebből következik, hogy CM=AB.

VIII. megoldás 

Az ABC háromszöget úgy helyezzük el a koordinátarendszerbe, hogy C az origóba, CA az x tengely pozitív részére kerüljön, B pont az y = x egyenes első negyedben lévő részén legyen. Koordinátákkal: B(b;b), A(a;0). CB egyenes egyenlete y = x. M pont első koordinátája b. AM egyenes merőleges CB-re, ezért egyenlete y = a – x. Az x = b és az y = a – x egyenesek metszéspontja adja az M magasságpontot, melynek második koordinátája (a – b) lesz. A és B pontok távolsága , C és M pontok távolsága . Látható, hogy AB = CM.

XIII. megoldás 

M legyen a háromszög magasságpontja. A CB oldalra tükrözzük az ABC háromszöget, A’ legyen A tükörképe. CATA∠ és a tükörképe, CA’TA∠ is 45°, sőt CBTB∠ is annyi. Ezért CM szakasz 45°-os látókörén van B és A’. A’CA∠=90 ° a tükrözés miatt, ezért BM szakasz párhuzamos A’C szakasszal, így CMBA’ húrtrapéz, melynek szárai CM és A’B egyenlőek. Ezért AB = CM.

XVIII. megoldás 

M jelöli a magasságpontot, TA, TB, TC a magasságvonalak talppontjait. A CMA, BMA háromszögeknek az A-nál fekvő közös szögükön kívül van még egy-egy derékszöge, így a harmadik szögük is egyenlő: ACM∠ = ABM∠ = α. Az AMB∠ az AMTB háromszög külső szöge, így 135°. Írjunk fel két szinusz-tételt:

XIX. megoldás 

Húzzuk meg az MK párhuzamost a magasságponton át a BC oldallal. Az MKC, AMB háromszögek hasonlók, mert szögeik egyenlők:  az KMC∠, MAB∠ szögpár és a KCM∠, MBA∠ szögpár is merőleges szárú. A KMA háromszög szögei alapján egyenlő szárú derékszögű háromszög, azaz KM = MA. Ezért az MKC, AMB háromszögek egybevágóak: CM = AM.

A XVIII., XIX. megoldások Kiss Gabriellától, ill. Vágó Lajostól, Szomju László tanár úr  tanítványaitól származnak.

Nagyíts!

5. fogás

nagyíts!

Az alapötlet a következő :

ha lehet, szabadítsuk fel az osztályterem közepét, hogy ott lehessen bemutatni  a tananyagot  „nagy méretben”.

Téma: 10. osztályos matematika; geometria – bevezető ismétlés - ; a körről tanultak kiegészítése.

Megközelítés a művészet oldaláról:

1.       Rajzolj egy pontból sugár irányú  satírozással egy kört( körlapot) egy lapra  ( A/ 4-es, A/ 3-as, vagy ennél is lehet nagyobb) úgy, hogy előre nem jelölheted ki a körvonalat!

2.       Satírozz be egy lapot úgy, hogy a közepén szabadon hagysz egy körlapnyi területet!

3.       Rajzolj szabad kézzel egy kört! Töltsd ki a kör területének minél nagyobb részét egymást érintő kisebb körökkel! (...mi is két kör centrálisa?...)

Megközelítés a mozgás oldaláról:

1.       Toljátok el az osztályteremben a padokat a falakhoz. Álljatok fel egy körbe!  Igazítsátok addig, míg a lehető „legszebb” kört nem kapjátok!

2.       Egy ember keresse meg e kör középpontját, s álljon oda!  Szemmértékkel ellenőrizzétek, megtalálta-e a középpontot!

3.       Lassan induljon el a helyéről a középpontot kijelölő ember; a többiek pedig kövessék őt úgy, hogy a kör továbbra is szép kör maradjon, s a középpont is középen legyen! ( Benne rejlik a párhuzamos eltolás átélése is!)

4.       Alkossatok két kört, két középponttal!   Induljanak el a középpontok egymás felé s álljanak meg, amikor a két kör érinti egymást.

5.       Ugyanígy bemutatható a két metsző kör és a két koncentrikus kör helyzete is.

6.       Álljunk egy nagy körbe! Ezzel kijelöljük a terem egy részét, gondolatban rögzítsük ezen térrész határait. Kezdjünk el sétálgatni a körben úgy, mintha ez a kijelölt terület egy, a középpontban alulról alátámasztott nagy körlemez lenne. Kezdjünk el sétálni a körvonalon belül, s közben vigyáznunk kell, hogy „meg tudjuk tartani” a körlap egyensúlyát.

7.       Álljunk egy nagy körbe! Madzaggal jelöljünk ki egy szabályos hatszöget úgy, hogy bizonyos emberek fogják a kezükbe a fonalat. (Pl. 12 ember esetén minden második…). Más színű gombolyaggal „kihúzhatjuk” az átlókat; szögfelezőket és oldalfelezőket; vagy megnézhetjük, hogy hány fokos szögben látszik két ember egy csúcspontból, vagy ez a két ember hány fokos szögben látszik másik csúcspontokból kapcsolódva ezzel a látószög fogalmához).

Vizsgálható pl.:  AKE ∆, amely egyenlőszárú; egyik külső szöge az AKB szög, így ez AEB szög és KAE szög összege. Mivel e két utolsó szög egyenlő, hiszen AKE ∆ egyenlőszárú, így  AEK kerületi szög fele az AKB kerületi szögnek.

8.       Nagy csomagolóppapírra előre elkészített, körbe rajzolt szabályos  hatszög segítségével kerületi és középponti szögek bevezetése; ebben az idomban a szögek nagyságának kiszámolása, ezeket a középponti szöggel összevetni; egy húrhoz ( hatszög egyik oldalához) tartozó kerületi szögek megkeresése, nagyságuk kiszámolása.

Ezután lehet általánosítani…

9. A látószögkörív bevezetése

Melyik helyre váltsunk jegyet a színházban? Miért olcsóbbak egyes helyekre szóló jegyek? Miért készítik egyes színházakban íveltre a széksorokat?

      …és egy kis művészet…:

És hogy hogyan éri el a művész a háromdimenziós hatást, (nézőpont kérdése az egész).

A megfelelő szögből nézve:

 

És rossz nézőpontból, így néz ki ugyanez: