Add tovább a zsetont! - geomeria ismétlése

9. fogás

Add tovább  a zsetont! – helyett : Add tovább a feladatot! - variáció

A diákok párosával dolgoztak  és  8 percet kaptak, hogy egy bonyolultabb geometriai bizonyítás kidolgozott megoldását megértsék, feldolgozzák. 

Feladat : Az ABC hegyesszögű háromszög C-nél levő szöge 45°. M a háromszög magasságpontja. Bizonyítsuk be, hogy CM = AB!

A feladat kidolgozott megoldásait egyenként lapokra kinyomtattam és a padtársak elé tette.

Ennek a geometria példának azt az érdekessége, hogy 18, a középiskolások által is megérthető megoldása ismert.

A kapott lapra írhattak, kiegészítették az ábrákat, kijegyzetelték a megoldás szövegét; külön kértem, hogy használjanak színeket az egyes pontok, szakaszok, szögek, háromszögek kiemeléséhez a könnyebb érthetőség kedvéért.

Az idő leteltével tovább kellett adniuk a lapot a mögöttük ülő párnak és azt a lapot kellett (tovább) értelmezniük következő 5 percben, amit most újonnan kaptak.

A feladat jellege miatt lehetett volna még több kör is, de sajnos tanórai időkeret nem engedett többet. Ehelyett még egyszer megkértem őket, hogy adják hátra a lapjaikat s a kapott megoldásokat házi feladatként kell tanulmányozniuk, kijegyzetelniük, megérteniük.

Mivel minden körben más geometriai fogalomra, tételre kellett koncentrálniuk,  a diákok valóban éberek maradtak! 

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!  - Laczkó László nyomán

A feladat:  Az ABC hegyesszögű háromszög C-nél levő szöge 45°. M a háromszög magasságpontja. Bizonyítsuk be, hogy CM = AB!

Ízelítő  a megoldásokból:

I. megoldás 

A BM szakasz hossza legyen x, az MTB szakaszé y. BTBC háromszög egyenlő szárú, derékszögű. Ezért CTB hossza x+y. Az ATBM háromszög is egyenlő szárú, derékszögű. Ezért ATB=y. A CMTB, ATBB  háromszögek egybevágók, mert két-két oldaluk és közbezárt szögük egyenlő. Ezért AB=CM.  ( Íme egy lehetőség az ábra színezésre. A diákok  megoldás  gondolatmenetét követve színezték ki az egyes részeket. A kiemeléseknek köszönhetően a második, harmadik pár rövidebb idő alatt tudta megérteni a megoldást!)

II. megoldás 

TBBA∠ = ACM∠, mert merőleges szárú hegyesszögek. Az ATBB, CMTB háromszögek derékszögűek és még van egy-egy egyenlő szögük, ráadásul a BTB és CTB egymásnak megfelelő oldalak egyenlőek (a CBTB háromszög egyenlő szárú derékszögű) ezért a két háromszög egybevágó. Ebből következik, hogy CM=AB.

VIII. megoldás 

Az ABC háromszöget úgy helyezzük el a koordinátarendszerbe, hogy C az origóba, CA az x tengely pozitív részére kerüljön, B pont az y = x egyenes első negyedben lévő részén legyen. Koordinátákkal: B(b;b), A(a;0). CB egyenes egyenlete y = x. M pont első koordinátája b. AM egyenes merőleges CB-re, ezért egyenlete y = a – x. Az x = b és az y = a – x egyenesek metszéspontja adja az M magasságpontot, melynek második koordinátája (a – b) lesz. A és B pontok távolsága , C és M pontok távolsága . Látható, hogy AB = CM.

XIII. megoldás 

M legyen a háromszög magasságpontja. A CB oldalra tükrözzük az ABC háromszöget, A’ legyen A tükörképe. CATA∠ és a tükörképe, CA’TA∠ is 45°, sőt CBTB∠ is annyi. Ezért CM szakasz 45°-os látókörén van B és A’. A’CA∠=90 ° a tükrözés miatt, ezért BM szakasz párhuzamos A’C szakasszal, így CMBA’ húrtrapéz, melynek szárai CM és A’B egyenlőek. Ezért AB = CM.

XVIII. megoldás 

M jelöli a magasságpontot, TA, TB, TC a magasságvonalak talppontjait. A CMA, BMA háromszögeknek az A-nál fekvő közös szögükön kívül van még egy-egy derékszöge, így a harmadik szögük is egyenlő: ACM∠ = ABM∠ = α. Az AMB∠ az AMTB háromszög külső szöge, így 135°. Írjunk fel két szinusz-tételt:

XIX. megoldás 

Húzzuk meg az MK párhuzamost a magasságponton át a BC oldallal. Az MKC, AMB háromszögek hasonlók, mert szögeik egyenlők:  az KMC∠, MAB∠ szögpár és a KCM∠, MBA∠ szögpár is merőleges szárú. A KMA háromszög szögei alapján egyenlő szárú derékszögű háromszög, azaz KM = MA. Ezért az MKC, AMB háromszögek egybevágóak: CM = AM.

A XVIII., XIX. megoldások Kiss Gabriellától, ill. Vágó Lajostól, Szomju László tanár úr  tanítványaitól származnak.