TÚRA koordináta-geometria ismétlés

28. fogás

TÚRA – erőltetett menet az érettségi felé koordinátageometriai feladatokkal

• -          Gondoljunk ki egy sor hosszú, részletes választ igénylő kérdést! ( Jelen esetben ezek koordináta-geometria  feladatok lesznek,  érettségire készülő  12. osztály számára.)
• -          Mindegyik kérdést írjuk fel egy nagy ( A/3-as vagy egy dupla négyzetrácsos) papírra, s osszuk ki a padokra.  ( A fennakadások elkerülése végett legyen több feladat, mint ahány diákpár van.)
• -          Cél: minden feladatra a lehető legpontosabb és legteljesebb választ adni a megadott határidőre. Mindezért az egész osztály  a felelős, így addig kell munkálkodniuk, míg  a válaszok szerintük a lehető legjobbak nem lesznek.
• -          A diákok párokban dolgoznak. A „Kezdjük!” jelszóra az asztalukra elhelyezett feladattal foglalkoznak pár percig, majd a tanári „Tovább!” jelzésre befejezik azt s átmennek egy másik feladathoz.  Ettől kezdve a párok szabadon mozognak az osztályban, maguk döntik el, melyik feladattal foglalkoznak s mennyi ideig…
• -          Biztassuk a diákokat, hogy bátran írjanak hozzá, írják át, töröljenek ki részeket a már leírt megoldásokból, hogy a lehető legpontosabb válaszok szülessenek a faladatokra! Csupán az alábbi szabályokat kell betartani:
• csak egy pár dolgozhat egy időben egy kérdésen ; egy kérdésnél (3) 5 percnél többet nem tölthetnek el.
• -          Amikor letelik a feladatok megoldására szánt idő, a párok visszamennek az eredeti feladatukhoz. Megnézik, milyen megoldás áll rajta, s ezt kijavítják, leosztályozzák.
• -          Az óra végén (kb. 10 percben) kiemelhetünk egy-két feladatot, közösen megbeszélhetjük a leírt megoldást vagy kijavíthatjuk, befejezhetjük azt, ha kell.

-A gyakorlatban duplán is megvalósul a kortárstanítás. Részben a páros munka miatt, másrészt a feladatmegoldásokat böngészve tanulhatnak egymás hibáiból.

- A közös munka és a teljes névtelen jellege miatt befogadó lesz a feladat.

A feladat variálható úgy is, hogy a párok a helyükön maradnak, s a tanár visz oda az új párosnak a feladatlapot. Így lehetővé válik egy viszonylag pontos differenciálás.

A feladatok:

1. Az A pont helyvektora  a = i - 2j, a B ponté b = - i+ 4j. A C pont helyvektorára teljesül,

            hogy c = 3b – 2a.

a)      Számítsuk ki A, B, C pontok koordinátáit!

b)      Igaz-e, hogy a három pont egy egyenesre illeszkedik?

2.      Bizonyítsuk be, hogy a megadott pontok egy-egy derékszögű háromszög csúcspontjai. Melyik pontnál található a derékszög az egyes esetekben?

a) A (2; 5)                    B( -6; -3)              C ( 4;3)

b) A( 4;3)                    B ( -5; -4)             C (-2; 5)

3. Hány olyan pont van a koordináta-rendszerben, amely az alábbi pontokkal együtt paralelogrammát alkot: (-1;-1); (5;1); ( 2;4)? Adjuk meg az ilyen tulajdonságú pontok koordinátáit!

 4. A készülő autópálya tervezésekor egy koordináta-rendszert helyeznek el a térképen, majd egy-egy jellemző tereptárgy koordinátáit leolvassák. Az új útszakaszt nyílegyenesnek tervezik és összeköti majd a (- 2; -1)  és ( 3;2) koordinátájú pontokat.

a) Áthalad-e a tervezett autópálya a koordináta-rendszer kezdőpontján?

b) Adjuk meg annak az autópálya nyomvonalán található pontnak a koordinátáit, amelynek abszcisszája 1.

c) Az autópálya keresztez egy már meglevő, szintén egyenes utat. Ennek az útnak két pontja P( 8; 5) illetve Q (9;2). Igazoljuk, hogy a P pontban fogja keresztezni a másik utat!

 

5. Írjuk fel az r sugarú kör egyenletét, ha mindkét koordinátatengelyt érinti, továbbá középpontja az

a) első,

b) második,

c) harmadik,

d) negyedik síknegyedben található.

6. Béla bácsi kertjében két gyönyörű díszfa található, amelyeket a tulajdonosuk rendszeresen locsol. Egy nap Béla bácsi elhatározta, hogy forgófejes locsolóberendezést állít a kertbe, amely minden irányban ugyanakkora, előre beállított távolságra képes locsolni.

Béla bácsi kijelölte egy koordinátarendszer tengelyeit, majd meghatározta a négy fa koordinátáit: (6; -1), (2; 7); (0;5), (0;1).

a)      Bizonyítsuk be, hogy valóban található olyan pont ahova elhelyezve a locsolóberendezést valóban meg lehet öntözni a négy fát.

b)      Mekkora „hatótávolságra” kell ekkor beállítani?

c)       A fenti beállítással meglocsolja-e a ( 3; -2) pontba ültetett tuját?

7. Egy egyenlőszárú háromszög alapjának végpontjai  A(-1; 3) és B( 3; -3), körülírt körének egyenlete

    x² + y ² - - 13/2 x – 3y – 15/ 2 = 0.

Számítsuk ki a háromszög ismeretlen csúcsának koordinátáit!

8. A kalózok az elveszett kincs nyomába eredvén, találtak egy térképvázlatot, valamint egy kicsit homályos leírást a kincs helyéről. A térképen egy rendkívül magas fa, valamint egy könnyen beazonosítható szikla látható. Ezek koordinátái: (-5;-6), valamint (-2; 3). A leírás szerint a k9ncs a sziklát a fával összekötő egyenes útszakasz mentén van elásva, a koordinátarendszer kezdőpontjától pontosan 5 egység távolságra.

a) Mely koordinátájú pontban van elrejtve a kalózok által keresett kincs?

b) Milyen arányban osztja a kincs a fa és a szikla közötti útszakaszt?

      9.  Bodri kutyát a gazdája kikötötte a ( -1; 3) pontban egy 3 méter hosszúságú láncra. Az

      y = x-1 egyenletű egyenes mentén hosszú sétaút húzódik. Bizonyítsuk be, hogy a sétaúton közlekedők       biztonságban vannak Bodritól, ha a koordináta- rendszer tengelyeinek egysége 1 méter.

10. Egy cukrász kétféle sütemény ( A és B) elkészítéséhez összesen 45kg  lisztet, 35 kg cukrot, valamint 25 kg margarint használhat fel. A táblázat mutatja, hogy az egyes sütemények elkészítéséhez mennyi nyersanyag szükséges.

	A sütemény	B sütemény
Liszt	1kg	2kg
Cukor	2kg	1kg
Margarin	1kg	1kg

 A cukrász nyeresége az A süteményen 70Ft,  a B süteményen 50Ft.

a) Hány darabot kell készíteni az A, illetve a B süteményből ahhoz, hogy a nyereség maximális legyen?

b) Mennyi a cukrász maximális nyeresége?

11. Egy alföldi városban három templomtorony található, amelyeket egyenes utak kötnek össze. A megfelelő koordináta-rendszerben a tornyokat összekötő utak közül kettőnek az egyenlete:

        b: 4x + y = 1

        c: 2x + 9y = 43.

A város építészei úgy döntöttek, hogy a tornyokat összekötő utak által meghatározott háromszög magasságpontjába egy kilátót létesítenek. A tervezőasztalon kiszámolták a kilátó leendő helyének koordinátáit: K ( 2; 2/3).

Számítsuk ki a templomtornyok koordinátáit!

12. Az ABC háromszög csúcsainak koordinátái: A( -2;3), B( 2;-2), C 6;2).   Az alábbi, egyenletükkel megadott egyenesek közül döntsük el, hogy melyek az adott háromszög oldalainak egyenesei?

a) y= x- 4                     b) 4x = 3x + 11                  d)  x+y=1                            g) x/4 + y/ 4 = 1!

13. A térképre helyezett koordinátarendszerben két pont koordinátája: A(-3;1) és B( 5;3). Egy kerékpáros nyílegyenes AB úton állandó sebességgel halad, és 1 óra alatt jut el az A pontból a B pontba. Adjuk meg a koordinátáit annak a pontnak, amelybe a kerékpáros az A pontból elindulva

a) fél óra,                 b) másfél óra,                   c) két óra múlva ér el!