56. fogás
PIAC - azaz információkereskedelem az osztályban -
Pascal-háromszög
A diákok kaptak egy fénymásolt lapot, amelyen a Pascal-háromszögről olvashattak egy összefoglaló anyagot. Házi feladatként ezt kellett kielemezniük, kijegyzetelniük, értelmezniük.
Ezen felül 3-4 gyerek kapott még egyforma anyagot a Pascal – háromszög különböző tulajdonságairól angol ill. magyar nyelven, képekkel illusztrálva.
Ezt a gyakorlatot szigorú időkeretek között hajtjuk végre.
A gyerekek 3-4 fős csoportokban dolgoznak; egy-egy csoportba azok kerülnek, akik egyforma feldolgozandó anyagot kaptak, azaz otthoni feladatként a Pascal- háromszögnek ugyanazzal a tulajdonságával ismerkedtek.
Kapnak a csoportok egy-egy min. A/3-as méretű lapot, 3-4 különböző színű filctollat / tollat.
Előkészületek : - csoportok beosztása ( ez a házi feladat kiosztásakor már meg is történt),
- az időbeosztás táblára írása,
- a teszt elkészítése, írásvetítőn vagy projektorral való kimutatása
1. 1 perc
szakasz – a teszt/ tanulási célok megismerés – jegyzetelni TILOS! A tesztet az 5. szakaszban kell megoldaniuk.
Cél :feladatok megoldása; a binomiális tétel alkalmazása; fontos tudnivalók a Pascal- háromszögről.
2. 8 perc
A csoportoknak a forrásanyagot kell egy poszterré átalakítani. A posztert látogatók számára kell megtervezni, hogy annak alapján megértség az anyagot. Legyen rajta sok kép, s kevés szöveg (pl. max. 10 szó).
Kérjük meg, hogy a csoport tagjai közül mindenki írjon, rajzoljon a poszterre – ez könnyen ellenőrizhető, ha mindenki más színű íróeszközzel dolgozik.
A szakasz vége felé a tanár járja végig a csoportokat, s jelezze, hogy mi kell még, hogy szerepeljen a lapon.
3. 12 perc
A csoportok a teszt kitöltéséhez tehát az anyag egy részével megismerkedtek, most a többit egymástól kell megtanulniuk.
A csoportok egy – egy tagja „otthon” marad, ő lesz az árus. A többiek mennek a piacra információt gyűjteni. Az árus helyén elmagyarázza a poszterüket a látogatóknak, úgy, hogy csak a látogatók kérdéseire válaszolhat!
Mivel több standot” is fel kell keresniük rövid idő alatt, célszerű, ha a csoporttagok egyesével indulnak az információkért. Mindenkinek jegyzetet kell készíteni!
4. 10 perc
Mindenkinek, aki visszament a saját bázisára, meg kell osztania társaival a szerzett információkat.
5. 8 perc
A teszt kitöltése minden segítség nélkül. ( El kell az osztályban rakni / le kell fordítani az elkészített plakátokat!)
6. 5 perc
A diákok minden csoportban összedugják a fejüket, hogy megnézzék, fel tudnak-e mutatni egy teljes, pontos válaszsort.
FONTOS, HOGY ERRŐL A SZAKASZRÓL NE TUDJANAK A ÓRA ELEJÉN!
Végezetül a tanár áttekinti a tesztet, különösen a fogós kérdésekre összpontosít.
Ekkor vagy a következő órán megbeszélik a teszt megoldásait.
Otthoni unkára kiadott összefoglaló anyag a Pascal - háromszöggel kapcsolatban:
A Pascal-háromszög
1.)Már találkoztunk (a+b) első néhány hatványával, írjuk fel őket újra sorban egymás után.
(a+b)0 = 1
(a+b)1 = a+b
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b)5 = a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
(a+b)6 = a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
Most írjuk az együtthatókat egyenlőszárú háromszög alakba egymás alá!
0. sor 1
1. sor 1 1
2. sor 1 2 1
3. sor 1 3 3 1
4. sor 1 4 6 4 1
5. sor 1 5 10 10 5 1
6. sor 1 6 15 20 15 6 1
Ezt a számokból álló alakzatot Pascal-háromszögnek nevezzük. Felfedezője Blaise Pascal (1623-1662) francia filozófus, matematikus, és fizikus volt. Tehetsége korán megnyilvánult, matematikai kutatásai és eredményei elismert tudóssá tették, bár egyéb munkásságainak sem kisebb az érdeme hírneve megszerzésében. Pascal nagy tehetségnek bizonyult, már 12 éves korára ,,felfedezte” Euklidesz törvényeinek nagy részét. 1642 és 1644 között apja munkájának megkönnyítésére számológépet készít. Ez volt a világ első mechanikus számológépe. Tizenhat éves korában felfedezett egy új matematikai tételt. Huszonöt évesen kolostorba vonult, de azután sem hagyott fel a tudományokkal. Matematikai munkássága szerteágazó.
Az első, egységes egészként működő összeadógépet Blaise Pascal francia filozófus tervezte 1642-ben. A gépet Rouenben adóbeszedőként dolgozó apja számára készítette az akkor 19 éves Pascal, hogy megkönnyítse annak munkáját. A számológép megmaradt az utókornak. A számokat a gép elején lévő kerekeken kell beállítani, az eredmény pedig a gép tetején lévő kis ablakokban látszik. Ez az eszköz tízfogú fogaskerekeket tartalmaz. A fogaskerekek minden foga egy-egy számjegynek felel meg 0-tól 9-ig. Minden helyiértéknek megfelel egy ilyen fogaskerék (hatjegyű számokat lehet a géppel összeadni). A kerekek úgy kapcsolódnak össze, hogy számokat lehet összeadni vagy kivonni a fogaskerekek megfelelő számú foggal történő elforgatásával: ha a legkisebb helyiérték fogaskerekét egy foggal (36o-kal) elfordítjuk, az a mozgásiránytól függően 1 hozzáadását vagy levonását jelenti a gépben éppen látható számból. Ebben a gépben is működik a tízesátvitel: ha az egyik helyiérték kereke a 9-es állásból a 0-ba fordul, akkor a következő nagyobb helyiérték kerekét egy foggal elfordítja.
A fordulatszámlálás elve
(az egyfogú kerék egy körülfordulása a tízfogú kereket egy foggal fordítja el
(az egyfogú kerék egy körülfordulása a tízfogú kereket egy foggal fordítja el
A Pascal-háromszög tetszőlegesen folytatható tovább újabb sorokkal. A tanulók hamar kitalálják, mi lesz a hetedik sor: Minden számot úgy kapunk meg, hogy a jobbra és balra fölötte levő két számot összeadjuk, ezért a hetedik sorban az
1 7 21 35 35 21 7 1
számok állnak. Ez alapján (a+b) hetedik hatványát is könnyen meg lehet adni:
(a+b)7 = a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7
A Pascal-háromszög számait a kombinációban megismert jelöléssel is írhatjuk.
FORRÁSANYAG - példák otthonra kiadott csoport-alakító kiegészítő anyagokra:
| I.) | Diagonals |
 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
This is the Triangular Number Sequence:
This sequence is generated from a pattern of dots which form a triangle. By adding another row of dots and counting all the dots we can find the next number of the sequence:  A négyzetszámok kétféleképpen is ott rejtőznek a Pascal-háromszögben,
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||
 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Egy n elemű halmaznak annyi egyelemű részhalmaza van, ahányféleképpen ki lehet választani az n elemből 1-t. Ha a k elemű (k£n) részhalmazokat nézzük, ebből annyi van, ahányféleképpen ki lehet választani az n elemből k darabot, azaz  féleképpen.
Részhalmazok száma ezek összege:  +  +…+ + …+ Ha a binomiális tételben szereplő a és b változók helyére 1-t írunk:
III.) Exponents of 11 Each line is also the powers( exponents of 11:
But what happens with 115 ? Simple! The digits just overlap, like this:  The same thing happens with 116 etc. IV. ) |
Fibonacci Sequence
Try this: make a pattern by going up and then along, then add up the values (as illustrated) ... you will get the Fibonacci Sequence.
(The Fibonacci Sequence starts "1, 1" and then continues by adding the two previous numbers, for example 3+5=8, then 5+8=13, etc)
 |
Nos, hogy lesz ebből fraktál? Az általunk ismert klasszikus fraktálok közül a Sierpinski-háromszöget tudjuk a Pascal-háromszögből elővarázsolni. A "varázslat" pedig igen egyszerű: színezzük feketére a Pascal-háromszögben a páratlan számokat. Íme az eredmény:
 |
Próbáljuk ki, hogy vajon akkor is ilyen szabályos, önhasonló mintázatot kapunk-e, ha más szám szerinti oszthatóság alapján színezzük ki a Pascal-háromszög elemeit. Tegyünk néhány próbát, és színezzük feketére a 3-mal, 5-tel, 9-cel oszthatószámokat! Ahogy a következő ábrákon látható, ezekben az esetekben is tökéletesen önhasonló fraktált kapunk.
 |  |
3-mal osztható számok színezése | 5-tel osztható számok színezése |
| VI.) | „Harisnyatulajdonság” – ez az összeadási tulajdonságnak rokona, és belőle származtatható is. Ezt megint a Pascal-háromszög szimmetrikus alakján mutatjuk meg:  |
Ez is megadja a Pascal-háromszög minden számát nála följebb levő, L betű szárában elhelyezkedő számok összegeként.
VII.)
Az ábrán látható a Galton deszka rajza és az abba bedobott golyó lehetséges útvonalai. A golyót bármelyik nyíláson is dobjuk be, azt a fából készült ékek az elágazásoknál egyenlő valószínűséggel terelik két irányba.
  |
Az O pontból indulva az első "döntés" ( jobbra menjen vagy balra a golyó) valószínűsége
. Ez minden elágazásnál, az előző "döntéstől" függetlenül újra megismétlődik. Ilyenkor az egyes útszakaszok választásának valószínűségét összeszorozzuk.
. Ez minden elágazásnál, az előző "döntéstől" függetlenül újra megismétlődik. Ilyenkor az egyes útszakaszok választásának valószínűségét összeszorozzuk. START | ||||||
A | B | |||||
 | C D E  | | ||||
F  | G | H | |
Az órán megoldandó feladatlap :
1.) Íme a Pascal- háromszög első sorai. Írd fel a 6. sorát!
Ennek segítségével fejtsd ki összeg formájában az ( a + b ) 6 kifejezést!
Hasonlítsd össze!
2.) A Pascal-háromszöget vizsgálva …
A Pascal-háromszög és ez a binomiális együtthatókkal felírva
Mit mondhatunk
(a) két szomszédos elemösszegéről ( fogalmazd meg általánosan!)
(b) az egyes sorokban lévő elemek összegéről?
3.) Hányféleképp olvasható ki az alábbi ábrából a KOMBINATORIKA szó, felülről lefelé haladva?
K
O O
M M M
B B B B
I I I I I
N N N N N N
A A A A A A A
T T T T T T
O O O O O
R R R R
I I I
K K
A
4.) Hányféleképp olvasható ki az alábbi ábrából a KOMBINATORIKA szó, ha csak felülről lefelé, illetve balról jobbra haladhatunk? A megoldáshoz használd a Pascal-háromszöget!
K O M B I N A T O R I K A O M B I N A T O R I K A M B I N A T O R I K A B I N A T O R I K A I N A T O R I K A N A T O R I K A A T O R I K A T O R I K A O R I K A R I K A I K A K A A |  |
5.) Legfeljebb hány metszéspontja lehet 10 különböző egyenesnek?
6.) Hányféleképpen lehet egy 32 lapos magyar kártyából 3 embernek 5-5 lapot kiosztani?
7.) Hányféleképpen tudod kiolvasni az ABACUS szót az ábra alapján?
A
B B
A A A
C C C C
U U U U U
S S S S S S
8.) Hányféleképpen tudod kiolvasni a MATEMATIKA szót az ábra alapján, ha csak lefelé és jobbra léphetünk és a bal felső sarokból indulunk?
M A T E M A
A T E M A T
T E M A T I
E M A T I K
M A T I K A
9.)
Az ábra az öt elemből kiválasztható párok – az ötelemű halmaz kételemű részhalmazai – számát mutatja úgy, hogy a kiválasztott párokat összekötöttük. Minden lehetséges párt megkaptunk, mert minden lehetséges összekötő vonalat meghúztunk, az ötszög oldalait is és átlóit is. 
, mint az ábra mutatja.
, mint az ábra mutatja.És 5 elemből hányféle módon tudunk 3 elemet kiválasztani?
Nincsenek megjegyzések:
Megjegyzés küldése