47. fogás
Szabályos
testek 12. osztály
„Testületi szellem” - avagy az
együttműködés mélytechnikai módja matematika órán
1.) Szótenisz -
párban ( térelemek; hasábok; gúlák;
síkidomok; négyszögek..)
A
diákok párokban foglalnak helyet. A tanár kijelöl egy témát, majd eldöntik a
párok, hogy ki kezdi, ki „adogat”. Az adogató bemond egy szót vagy egy
kifejezést a témával kapcsolatban, mire a társa gyorsan mond egy másikat, stb.
Gyors asszociációs játék; a teniszmeccsek hangulatát idézi fel.
Ha
valaki habozik, elakad, ismétel, akkor partnere kap pontot ( a pontozás a
tenisz szabályait követi.)
Ez
a feladat rendszerezett és nem kíván nyílt szereplést!
Aktuális
témára irányítja a figyelmet. Növeli a lagymatag osztály energiaszintjét!
Felvillanyozza
az agyakat!
2.)
Testületi
szellem - csoportmunka
Osszuk fel az osztályt 5 vegyes
képességű csoportra! ( Most fontos, hogy 5 csoportot képezzünk, mert
mindegyik társaságnak egy szabályos testet kell majd vizsgálnia.)
A csoport tagjaitól azt várjuk el, hogy támogassák egymást! A felelősség
megoszlik!
Azoktól, akik valamilyen nehézséggel küzdenek, azt
várjuk el, hogy a fogalmak, feladatok megértésének érdekében kérdezzék azokat a társaikat, akinek
nincsenek nehézségeik. Azoktól pedig, akik könnyen megértették az anyagot, azt
várjuk el, hogy ellenőrizzék, értik-e
a többiek is, illetve segítsenek, ha elakadnak.
A tanár bármikor
rákérdezhet bármelyik csoporttagra,
hogy megértette-e az (általa addig) átvett anyagot. Ha a válaszok pontatlanok,
akkor a csoport nem teljesítette a kötelességét.
A diákok gyakran hatékonyabban tanulnak egymástól,
mint a tanártól, mivel előfordul, hogy jobban értik, mi lehet a társuknak nehéz
a feladatban.
-
Bár
némileg eltér a feladat testületi jelegétől, de pontokkal lehet jutalmazni a csoportokat menet közben, ha pontosan
válaszolnak a tanár spontán kérdéseire. S óra végén rátekinteni, melyik csoport
szerzett legtöbb pontot. (Pontozás
: ha a csoport egy tagja, akit éppen a tanár megkérdez, nem tudja a
választ, akkor a többieknek meg kell tanítaniuk neki a kérdezett anyagrészt. A
tanár ezt a hiányt a pontozólapra feljegyzi és visszatér később, ellenőrizni.)
A csoportmunka során - 1-1 feladatlapot kapnak a
gyerekek egy-egy szabályos testhez kapcsolódóan, és össze is kell ragasztani a
(előre kivágott, („előházi feladat” is lehetett; hogy ne az órán menjen el vele
az idő!) hálóból a szabályos testet. Részletezve:
Csoportonként 1-1 szabályos test vizsgálata
-
matematikatörténet dióhéjban
-
elnevezések
-
testháló
-
Euler-tétel a vizsgált testre és egy másik
poliéderre
-
egy kreatív feladat
-
egy számolás vagy bizonyítás értelmezése
-
szabályos testek a hétköznapokban
-
szabályos testek a gyakorlatban
-
pontozás
( ha a csoport egy tagja, akit éppen a tanár megkérdez nem tudja a
választ, akkor a többieknek meg kell tanítaniuk neki a kérdezett anyagrészt. A
tanár ezt a hiányt a pontozólapra feljegyzi és visszatér később, ellenőrizni.
-
feladatsor a csoportok részére (valószínűleg házi feladat lesz…; csoportot
értékelni összpontszámmal!!!!!)
tetraéder
|
hexaéder
|
oktaéder
|
dodekaéder
|
ikozaéder
|
Rakd össze!
Tetraéder összeállítása
2 vagy 4 darabból.
|
Ali baba aranya-
kockahalom különböző
nézőpontokból
|
oktaéder origami
|
dodekaéder-lampion
|
„Ország – város”
- prímek
- mértani testek
- sokszögek
- négyszögek
- térelemek
ikozaéder sorsvetővel
|
feladat – a tetraéder éleivel
kapcsolatban
|
duálisok – fogalma és
duális párok a szabályos testek esetében
|
feladat – az oktaéder
átlóival kapcsolatban
|
Euler-tétele -
bizonyítás
|
szabályos testek száma - bizonyítás
|
-
Végül a
magyarázó szöveg segítségével – csoportonként elmondják, amit a feladatukról a
többieknek is tudni kell… ( a testületi szellem az egész osztályra kibővül…) A
tanár által előre elkészített prezentáció segítség lehet és időt is tudunk vele
megtakarítani.
Névjegykártyák - egyéni
Ez az egyszerű ötlet lehetővé teszi a tanulóknak, hogy egy kártya felmutatásával vagy a padra való kihelyezésével jelezzék válaszukat.
Minden diák
kapjon egy piros, egy sárga és egy zöld
A/6 –os méretű kártyát.
Az egyedüli
szabály: a becsületesség!
pl. A kártyákat használhatjuk:
-
amikor egy
–egy diák a kiadott kidolgozott példát vagy levezetést magyarázza;
-
a zavarodottság jelzésére, (kiváló
diagnosztikai eszköz) ha azt mondjuk:
„Emeljétek fel a sárga kártyát, ha kezditek elveszíteni a fonalat!” vagy
„Emeljétek fel a piros kártyát, ha teljesen elveszítettétek a fonalat!” .
-
(„Emeljétek
fel a bal kezeteket, ha kezditek elveszíteni a fonalat!” vagy „Emeljétek fel
mindkét kezeteket, ha teljesen elveszítettétek a fonalat!” .
vagy: ( két kézzel jelentkezni : mindent értek!
egy kézzel jelentkezni: van, amit azért értek…; nem jelentkezni: elveszítettem
a fonalat.)
-
-
Azonnal ellenőrizhetjük a megértést, - a
tanár bármikor megállhat és kérheti a kártyák felmutatását, hogy eddig mindent
megértettek- e vagy csak félig értik, vagy fogalmuk sincs a dologról…
A
kártyák arra utalnak, hogy nem az a lényeg, hogy gyorsan átessünk a tanulási műveleteken. A kártyák jelzik a gyerekek számára, hogy a
tanulás – másoknak is – lelki megerőltetéssel, zavarodottsággal
jár(hat). A kártyák gondolkodást követelnek a gyerekektől, odafigyelést,
ellenőrzést.
Megerősítik
a személyes felelősség érzését.
Fontos, hogy mindenkinek van kártyája
(a módszer demokratikus!), a kártyák segítségével mindenki aktív részese az
eljárásnak!
PONTOZÓLAP
|
1.csoport
tetraéder
|
2.
kocka
|
3.
oktaéder
|
4.
dodekaéder
|
5.
ikozaéder
|
Hány darab
szabályos test létezik?
|
|
|
|
|
|
Hány
csúcsa van az általatok vizsgált szabályos testnek?
|
|
|
|
|
|
Hány éle
van az általatok vizsgált szabályos testnek?
|
|
|
|
|
|
Mit jelent
a … előtag?
|
tetra-
|
hexa-
|
okta-
|
dodeka-
|
ikoza-
|
Milyen
idomok alkotják a test felszínét?
|
|
|
|
|
|
Szabályos
test-e a Kheopsz –piramis gúlája? (Indoklás!)
|
|
|
|
|
|
Milyen
gyakorlati haszna van a szabályos testeknek?
|
|
|
|
|
|
Szabályos
test-e a gömb?
|
|
|
|
|
|
Hány
lapátlója van a vizsgált testnek?
(Nem az
eredmény kell, hanem az, ahogyan kiszámolható.)
|
|
|
|
|
|
Hány
testátlója van a vizsgált testnek?
|
|
|
|
|
|
KÖVETKEZZENEK A TÉMÁK ÉS ÍZELÍTŐ A ZÁRÓ FELADATSORBÓL
“ Az ilyen szemléltetés nagyon hasznos, mert az emberi értelem a mértani alakzatokat fogja fel a legkönnyebben.”
Descartes: Oeuvres,X.413.old., Regulae ad directionemingenii,XII.szabály.
1.) MINDEN CSOPORTNAK kiadjuk először aa feladatokat s pár perc múlva a hozzá tartozó értelmezést
Szabályos testeknek nevezzük azokat a konvex poliédereket, amelyeknek élei, élszögei és lapszögei is egyenlők.
Megjegyzés:
|
Az olyan térrészt, amelyet véges sok sokszöglap határol, és amely teljes egyenest nem tartalmaz, poliédernek nevezzük.
|
- Hányféle szabályos poliéder létezik?
KELLÉKEK: a próbálkozásokhoz kartonból kivágott, előre meghajtogatott háromszög, négyzet…”füzérek”
| ||
- a) Próbálkozzunk szabályos háromszögekkel, mint oldallapokkal! Sikerül-e poliédert ragasztani, amelyben az oldallapok szabályos háromszögek? Hány darab szabályos háromszög esetében járunk sikerrel?
- b) Próbálkozzunk négyzetekkel, mint oldallapokkal! Sikerül-e poliédert ragasztani, amelyben az oldallapok szabályos négyszögek? Hány darab szabályos négyszög esetében járunk sikerrel?
- c) Próbálkozzunk szabályos négyszögekkel, mint oldallapokkal! Sikerül-e poliédert ragasztani, amelyben az oldallapok szabályos ötszögek? Hány darab szabályos ötszög esetében járunk sikerrel?
- d) Próbálkozzunk szabályos négyszögekkel, mint oldallapokkal! Sikerül-e poliédert ragasztani, amelyben az oldallapok szabályos hatszögek? Hány darab szabályos hatszög esetében járunk sikerrel?
ÉRTELMEZÉS:
Szabályos poliéder viszont alakját tekintve csak ötféle van. Ezt a tényt – amit már a régi görögök is ismertek – maguk a tanulók felfedezhetik, miközben a modellező készletből poliédereket állítanak elő. Ilyen tapasztalatok és megfontolások vezethetik őket erre a felismerésre:
1. Próbálkozzunk szabályos háromszögekkel. Sikerül olyan poliédert ragasztani, amelyben 3 ilyen lap találkozik minden csúcsban; olyat is, ahol 4; olyat is, ahol 5; ha 6 találkozik, akkor a háromszögek már síkba terülnek ki, sohasem záródnak poliéderré.
2. Próbálkozzunk szabályos négyszögekkel (négyzetekkel). Három-három négyzet találkozik a kocka minden csúcsában. Négy nem találkozhat, ugyanazon okból, amiért hat háromszög sem. ( 90 ° -nak a négyszerese 360 ° , ugyanúgy, mint 60 ° -nak a hatszorosa.)
3. Szabályos ötszögek közül találkozhat egy csúcsban három, mert 108 ° -nak a háromszorosa csak 324 ° ; ezzel az elindulással is keletkezik egy szabályos poliéder.
4. Szabályos hatszögből már három is síkba terül, ha egy csúcsuknál összeillesztjük őket. ( 120 ° -osak a szögeik; 120 ° · 3 = 360 ° .)
Hatnál több szabályos háromszöget, négynél több négyzetet, háromnál több szabályos ötszöget vagy hatszöget szintén nem illeszthetünk egy csúcshoz, hatnál több oldalú szabályos sokszögekből pedig hármat sem: ezekben az esetekben a szögek összege több lenne 360 ° -nál. 360 ° -nál nagyobb szögösszeg előfordulhat ugyan egy csúcs körül, de csak úgy, hogy a lapok „fodrozódnak”, ami azt jelenti, hogy a lapszögek közt – a lapok egymással alkotott szögei közt – 180 ° -nál nagyobb és kisebb is van. Akkor pedig ezek a szögek nem egyenlők, és így a poliéder nem lehet szabályos.
2.) A bevezető részt itt is minden csoport megkapja, majd egy -egy szabályos test hálóját, amelyet össze is kell ragasztaniuk
Egy szabályos test hálóján értjük azt a sokszöglapot, amelyet, ha papírlapból kivágunk, akkor összehajtogatható belőle a szabályos test felülete. Hány hálója van a szabályos testeknek? (Az egybevágó hálókat nem tekintjük különbözőnek.)
szabályos vagy platóni testek ősidők óta ismertek. Már a neolitikus ember is készített ilyen kockákat, amelyekről Skócia régészeti leletei tanúskodnak ezer évvel Platón előtt.
A régi görögök matematikájukhoz kapcsolódva tanulmányozták őket, és Proklosz írásaiban Püthagorasznak tulajdonítja fölfedezésüket. Más írások is igazolják, hogy Püthagorasz ismerte a tetraédert, a kockát, a dodekaédert, az oktaéder és az ikozaéder fölfedezését viszont Theaetetusnak, Platón kortársának tulajdonítják.
A platóni testek fontos szerepet játszottak Platón filozófiájában. Ezekről Platón a Timaiosz című munkájában ír, Kr. e. 360 táján. Az öt szabályos test közül négynek az őselemeket feleltette meg: a földet a kockának, a levegőt az oktaédernek, a vizet az ikozaédernek és a tüzet a tetraédernek. Az ötödikről, a dodekaéderről Platón homályosan nyilatkozik.
Ritkaságuk miatt Arisztotelész és Platón azt feltételezték, hogy ezek alkotják az anyag építőelemeit, és ezért a négy klasszikus elemmel és az éterrel kapcsolták össze őket.
Arisztotelész ezt az ötödik elemet az éterrel azonosította, azzal az anyaggal, ami az égi szférákat alkotja.
Eukleidész Elemek című könyvében eljutott a szabályos testek ismertetéséig is. Bebizonyította, hogy csak 5 féle szabályos test létezik, több nem lehetséges.
Kepler a Mysterium Cosmographicum című könyvében , amely 1596-ban jelent meg, a Naprendszer egy modelljét konstruálta meg szabályos testekbe és azok köré írható gömbök segítségével. Legbelül foglalt helyet az oktaéder, ezt követte az ikozaéder, majd a dodekaéder, a tetraéder és végül a kocka. Ez a modell közbülső láncszem volt Kepler kutatásaiban, és a modellt el is vetette, amikor fölismerte a bolygómozgás törvényeit.
5 csoportnak kiosztani az öt szabályos testet / vagy a hálójukat, amelyből össze kell ragasztaniuk / állítaniuk a testet. Pl. lehet ilyen mókás is...
Töltsék ki a saját idomukra vonatkozóan az alábbi táblázatot! ( Majd a táblára kerüljön fel egyesítve!)
Töltsétek ki a saját idomotokra vonatkozóan az alábbi táblázatot!
a szabályos test neve
|
oldallapok fajtája
|
oldallapok száma
( l )
|
élek száma
( é )
|
csúcsok száma
(c )
|
egy csúcsból kiinduló élek száma
|
testátlók száma
|
Ismertek – e olyan szavakat, amelyben szerepel az tetra-; hexa-; okta; dodeka; ikoza- előtag? Ha igen, mi a jelentésük?
tetra-
hex/ a-
okt/ a-
dodeka-
ikoza-
Euler- tétel állítása szerint :
Legyen a P konvex (vagy egyszerű) poliéder éleinek száma e, a lapjainak száma l és a csúcsainak száma c. Ekkor fennáll a következő egyenlőség
:
c + l = e + 2
Igazoljátok a tételt az általatok tanulmányozott szabályos test esetén!
Vizsgáljátok meg az egyiptomi piramis ( négyzet alapú gúla) esetében is igaz-e a tétel?
ÉRTELMEZÉS:
Az öt szabályos test
Név
| |||||
Oldallapok száma (l )
|
4
|
6
|
8
|
12
|
20
|
Oldallapok fajtája
|
szabályos háromszög
|
négyzet
|
szabályos háromszög
|
szabályos ötszög
|
szabályos háromszög
|
Duálisa
|
tetraéder
|
oktaéder
|
hexaéder
|
ikozaéder
|
dodekaéder
|
Élek száma (é )
|
6
|
12
|
12
|
30
|
30
|
Csúcsok száma (c)
|
4
|
8
|
6
|
20
|
12
|
Egy csúcsból induló élek száma
|
3
|
3
|
4
|
3
|
5
|
Testátlók száma
|
0
|
4
|
3
|
100
|
36
|
A hexameter a klasszikus epikai költészet versmértéke, amely hat verslábból áll. (A megnevezés szó szerinti fordítása hat mérték. ...
A tizenhatos (hexadecimális) számrendszer a 16-os számon alapuló számrendszer, az informatika kulcsfontosságú számrendszere (zsargonban: hexa).
Az oktáv (latin octava = 'nyolcadik') a zenében a diatonikus hangsor nyolcadik fokát jelenti, illetve azt a hangközt, amely az első fokot a nyolcadiktól elválasztja.
Az OktogonBudapest VI. kerületében, a Nagykörút és az Andrássy út kereszteződésében található nyolcszögletű tér, egyben a Millenniumi Földalatti Vasút egyik megállója. A szó görög eredetű, jelentése nyolcszög.
Dodekafónia
Nyelv: görög
A bécsi iskola által századunk húszas éveiben a dúr-moll hangrendszer helyett bevezetett hangrendszer és komponálásmód; alapja a 12 fokú kromatikus skála, ill. az ebből kialakított sor (szenálizmus), s alapelve, hogy addig nem ismétlődhet meg egy hang, ameddig az egymással teljesen egyenlőnek tekintett többi 11 meg nem szólalt; az alapsornak vízszintes és függőleges tengelyek körüli elforgatásaiból és megfordításaiból összesen 48 lehetőséggel számolhat; e totális szervezettség ellenére a megszólaló mű a véletlenszerűség benyomását kelti,
Naptár dodekaéderből vagy filcből varrva labda
Rakj össze egy szabályos tetraédert az alábbi, golyókból összeragasztott idomokból!
Ikozaéder
A globális földtudomány számára az ikozaéder modell tekinthető a legperspektívebbnek, mivel ez közelíti meg legjobban a gömböt, mely bizonyos célokra a Föld modelljeként is elfogadható.
- Sok vírus fehérjeburka (ún. kapszidja), például a herpeszé ikozahedrális szerkezetű. Ezt a szerkezetet lehet a legkönnyebben felépíteni azonos fehérjemolekulákból alkotott részegységekből.
- Szerepjátékok gyakori kelléke a húsz oldalú dobótest. Az egyes akciók véletlenszerű kimenetelének meghatározására használják. Számozása lehet 0-tól 9-ig úgy, hogy minden szám kétszer szerepel, de a legtöbb modern kiadást 1-től 20-ig számozzák.
- Az Icosagame játékot ikozaéder alakú táblán játsszák. A játék korábban Ico Crystal Game néven volt ismert.
- A Scattergories táblás játékban ikozaédert használnak betűválasztásra. Hat, az angol nyelvben ritkán használt betű nem szerepel, mint például az X, a Q, és a Z.
- Az ország – város játékban is alkalmazhatjuk a magyar abc 20 betűjével.
· Anya, dehisz ez egy ikozaéder... ;)
FELADATOK
1.) Jelölje
be azokat az állításokat, melyek logikai értéke igaz.!
|
a. Az oktaéder minden oldallapja szabályos
háromszög.
|
|
b. Van olyan szabályos test, amelynek minden lapja
szabályos hatszög.
|
|
c. Ha egy poliédernek 6 lapja van és10 éle, akkor a
csúcsainak száma 6.
|
|
d. A dodekaédernek kevesebb lapja van, mint az
ikozaédernek.
|
|
e. A szabályos ikozaédernek több lapja van, mint
éle.
|
|
f. A kockának van szabályos hatszög alakú
síkmetszete.
|
2. ) Valószínűség
Egy szabályos tetraéder oldalaira ráírtuk az 1, 2, 3 és 4számjegyeket. A
tetraédert háromszor elgurítottuk egymás után, és a dobott számokat (a
tetraéder alapján lévő számokat) egymás mellé írtuk (balról jobbra haladva).
Mekkora a valószínűsége annak, hogy az így kapott háromjegyű számpáros lesz?
|
1/2
|
|
1/4
|
|
2/3
|
|
1/3
|
Nincsenek megjegyzések:
Megjegyzés küldése