2011. július 13., szerda

Szabályos testek - TESTÜLETI SZELLEM

47. fogás

Szabályos testek  12. osztály
„Testületi szellem” - avagy az együttműködés mélytechnikai módja matematika órán

1.)    Szótenisz  - párban  ( térelemek; hasábok; gúlák; síkidomok; négyszögek..)
A diákok párokban foglalnak helyet. A tanár kijelöl egy témát, majd eldöntik a párok, hogy ki kezdi, ki „adogat”. Az adogató bemond egy szót vagy egy kifejezést a témával kapcsolatban, mire a társa gyorsan mond egy másikat, stb. Gyors asszociációs játék; a teniszmeccsek hangulatát idézi fel.
Ha valaki habozik, elakad, ismétel, akkor partnere kap pontot ( a pontozás a tenisz szabályait követi.)
Ez a feladat rendszerezett és nem kíván nyílt szereplést!
Aktuális témára irányítja a figyelmet. Növeli a lagymatag osztály energiaszintjét!
Felvillanyozza az agyakat!



2.)          Testületi szellem  - csoportmunka
Osszuk fel az osztályt 5 vegyes képességű csoportra! ( Most fontos, hogy 5 csoportot képezzünk, mert mindegyik társaságnak egy szabályos testet kell majd vizsgálnia.)
A csoport tagjaitól azt várjuk el, hogy támogassák egymást! A felelősség megoszlik!
Azoktól, akik valamilyen nehézséggel küzdenek, azt várjuk el, hogy a fogalmak, feladatok megértésének érdekében kérdezzék azokat a társaikat, akinek nincsenek nehézségeik. Azoktól pedig, akik könnyen megértették az anyagot, azt várjuk el, hogy ellenőrizzék, értik-e a többiek is, illetve segítsenek, ha elakadnak.
A tanár bármikor rákérdezhet bármelyik csoporttagra, hogy megértette-e az (általa addig) átvett anyagot. Ha a válaszok pontatlanok, akkor a csoport nem teljesítette a kötelességét.
A diákok gyakran hatékonyabban tanulnak egymástól, mint a tanártól, mivel előfordul, hogy jobban értik, mi lehet a társuknak nehéz a feladatban.
-          Bár némileg eltér a feladat testületi jelegétől, de pontokkal lehet jutalmazni a csoportokat menet közben, ha pontosan válaszolnak a tanár spontán kérdéseire. S óra végén rátekinteni, melyik csoport szerzett legtöbb pontot. (Pontozás  : ha a csoport egy tagja, akit éppen a tanár megkérdez, nem tudja a választ, akkor a többieknek meg kell tanítaniuk neki a kérdezett anyagrészt. A tanár ezt a hiányt a pontozólapra feljegyzi és visszatér később, ellenőrizni.)

A csoportmunka során - 1-1 feladatlapot kapnak a gyerekek egy-egy szabályos testhez kapcsolódóan, és össze is kell ragasztani a (előre kivágott, („előházi feladat” is lehetett; hogy ne az órán menjen el vele az idő!) hálóból a szabályos testet. Részletezve:
Csoportonként 1-1 szabályos test vizsgálata
-          matematikatörténet dióhéjban
-          elnevezések
-          testháló
-          Euler-tétel a vizsgált testre és egy másik poliéderre
-          egy kreatív feladat
-          egy számolás vagy bizonyítás értelmezése
-          szabályos testek a hétköznapokban
-          szabályos testek a gyakorlatban
-          pontozás  ( ha a csoport egy tagja, akit éppen a tanár megkérdez nem tudja a választ, akkor a többieknek meg kell tanítaniuk neki a kérdezett anyagrészt. A tanár ezt a hiányt a pontozólapra feljegyzi és visszatér később, ellenőrizni.
-          feladatsor a csoportok részére  (valószínűleg házi feladat lesz…; csoportot értékelni összpontszámmal!!!!!)



tetraéder
hexaéder
oktaéder
dodekaéder
ikozaéder
Rakd össze!
Tetraéder összeállítása 2 vagy 4 darabból.
Ali baba aranya-
kockahalom különböző nézőpontokból
oktaéder origami
dodekaéder-lampion
„Ország – város”
- prímek
- mértani testek
- sokszögek
- négyszögek
- térelemek
ikozaéder sorsvetővel
feladat – a tetraéder éleivel kapcsolatban
duálisok – fogalma és duális párok a szabályos testek esetében
feladat – az oktaéder átlóival kapcsolatban
Euler-tétele - bizonyítás
szabályos testek száma - bizonyítás
-           

Végül  a magyarázó szöveg segítségével – csoportonként elmondják, amit a feladatukról a többieknek is tudni kell… ( a testületi szellem az egész osztályra kibővül…) A tanár által előre elkészített prezentáció segítség lehet és időt is tudunk vele megtakarítani.

Névjegykártyák  - egyéni 
Ez az egyszerű ötlet lehetővé teszi a tanulóknak, hogy egy kártya felmutatásával vagy a padra való kihelyezésével jelezzék válaszukat.
Minden diák kapjon egy piros, egy sárga és egy zöld  A/6 –os méretű kártyát.
Az egyedüli szabály: a becsületesség!
pl.  A kártyákat használhatjuk:
-         amikor egy –egy diák a kiadott kidolgozott példát vagy levezetést magyarázza;
-          a zavarodottság jelzésére, (kiváló diagnosztikai eszköz) ha azt mondjuk:  „Emeljétek fel a sárga kártyát, ha kezditek elveszíteni a fonalat!” vagy „Emeljétek fel a piros kártyát, ha teljesen elveszítettétek a fonalat!” .
-         („Emeljétek fel a bal kezeteket, ha kezditek elveszíteni a fonalat!” vagy „Emeljétek fel mindkét kezeteket, ha teljesen elveszítettétek a fonalat!” .
vagy: ( két kézzel jelentkezni : mindent értek! egy kézzel jelentkezni: van, amit azért értek…; nem jelentkezni: elveszítettem a fonalat.)
-          
-         Azonnal ellenőrizhetjük a megértést, - a tanár bármikor megállhat és kérheti a kártyák felmutatását, hogy eddig mindent megértettek- e vagy csak félig értik, vagy fogalmuk sincs a dologról…
A kártyák arra utalnak, hogy nem az a lényeg, hogy gyorsan átessünk a tanulási műveleteken.  A kártyák jelzik a gyerekek számára, hogy a tanulás – másoknak is – lelki megerőltetéssel, zavarodottsággal jár(hat). A kártyák gondolkodást követelnek a gyerekektől, odafigyelést, ellenőrzést. Megerősítik a személyes felelősség érzését. Fontos, hogy mindenkinek van kártyája (a módszer demokratikus!), a kártyák segítségével mindenki aktív részese az eljárásnak!

PONTOZÓLAP


1.csoport
tetraéder
2.
kocka
3.
oktaéder
4.
dodekaéder
5.
ikozaéder

Hány darab szabályos test létezik?







Hány csúcsa van az általatok vizsgált szabályos testnek?







Hány éle van az általatok vizsgált szabályos testnek?







Mit jelent a … előtag?

tetra-
hexa-
okta-
dodeka-
ikoza-

Milyen idomok alkotják a test felszínét?







Szabályos test-e a Kheopsz –piramis gúlája? (Indoklás!)







Milyen gyakorlati haszna van a szabályos testeknek?







Szabályos test-e a gömb?







Hány lapátlója van a vizsgált testnek?
(Nem az eredmény kell, hanem az, ahogyan kiszámolható.)







Hány testátlója van a vizsgált testnek?









KÖVETKEZZENEK A TÉMÁK  ÉS  ÍZELÍTŐ A ZÁRÓ FELADATSORBÓL











Az ilyen szemléltetés nagyon hasznos, mert az emberi értelem a mértani alakzatokat fogja fel a legkönnyebben.”
Descartes: Oeuvres,X.413.old., Regulae ad directionemingenii,XII.szabály.



1.)  MINDEN CSOPORTNAK kiadjuk először aa feladatokat s pár perc múlva a hozzá tartozó értelmezést
Szabályos testeknek nevezzük azokat a konvex poliédereket, amelyeknek élei, élszögei és lapszögei is egyenlők.
Megjegyzés:
Az olyan térrészt, amelyet véges sok sokszöglap határol, és amely teljes egyenest nem tartalmaz, poliédernek nevezzük.

-        Hányféle szabályos poliéder létezik?

KELLÉKEK: a próbálkozásokhoz  kartonból kivágott, előre  meghajtogatott háromszög, négyzet…”füzérek”

















-          a) Próbálkozzunk szabályos háromszögekkel, mint oldallapokkal! Sikerül-e poliédert ragasztani, amelyben az oldallapok szabályos háromszögek? Hány darab szabályos háromszög esetében járunk sikerrel?

-          b) Próbálkozzunk négyzetekkel, mint oldallapokkal! Sikerül-e poliédert ragasztani, amelyben az oldallapok szabályos négyszögek? Hány darab szabályos négyszög esetében járunk sikerrel?


-          c) Próbálkozzunk szabályos négyszögekkel, mint oldallapokkal! Sikerül-e poliédert ragasztani, amelyben az oldallapok szabályos ötszögek? Hány darab szabályos ötszög esetében járunk sikerrel?

-          d) Próbálkozzunk szabályos négyszögekkel, mint oldallapokkal! Sikerül-e poliédert ragasztani, amelyben az oldallapok szabályos hatszögek? Hány darab szabályos hatszög esetében járunk sikerrel?





ÉRTELMEZÉS:
Szabályos poliéder viszont alakját tekintve csak ötféle van. Ezt a tényt – amit már a régi görögök is ismertek – maguk a tanulók felfedezhetik, miközben a modellező készletből poliédereket állítanak elő. Ilyen tapasztalatok és megfontolások vezethetik őket erre a felismerésre:
1. Próbálkozzunk szabályos háromszögekkel. Sikerül olyan poliédert ragasztani, amelyben 3 ilyen lap találkozik minden csúcsban; olyat is, ahol 4; olyat is, ahol 5; ha 6 találkozik, akkor a háromszögek már síkba terülnek ki, sohasem záródnak poliéderré.









2. Próbálkozzunk szabályos négyszögekkel (négyzetekkel). Három-három négyzet találkozik a kocka minden csúcsában. Négy nem találkozhat, ugyanazon okból, amiért hat háromszög sem. ( 90 ° -nak a négyszerese 360 ° , ugyanúgy, mint 60 ° -nak a hatszorosa.)


3. Szabályos ötszögek közül találkozhat egy csúcsban három, mert 108 ° -nak a háromszorosa csak 324 ° ; ezzel az elindulással is keletkezik egy szabályos poliéder.


4. Szabályos hatszögből már három is síkba terül, ha egy csúcsuknál összeillesztjük őket. ( 120 ° -osak a szögeik; 120 ° · 3 = 360 ° .)
Hatnál több szabályos háromszöget, négynél több négyzetet, háromnál több szabályos ötszöget vagy hatszöget szintén nem illeszthetünk egy csúcshoz, hatnál több oldalú szabályos sokszögekből pedig hármat sem: ezekben az esetekben a szögek összege több lenne 360 ° -nál. 360 ° -nál nagyobb szögösszeg előfordulhat ugyan egy csúcs körül, de csak úgy, hogy a lapok „fodrozódnak”, ami azt jelenti, hogy a lapszögek közt – a lapok egymással alkotott szögei közt – 180 ° -nál nagyobb és kisebb is van. Akkor pedig ezek a szögek nem egyenlők, és így a poliéder nem lehet szabályos.




2.) A bevezető részt itt is minden csoport megkapja, majd egy -egy szabályos test hálóját, amelyet össze is kell ragasztaniuk
Egy szabályos test hálóján értjük azt a sokszöglapot, amelyet, ha papírlapból kivágunk, akkor összehajtogatható belőle a szabályos test felülete. Hány hálója van a szabályos testeknek? (Az egybevágó hálókat nem tekintjük különbözőnek.)



 szabályos vagy platóni testek ősidők óta ismertek. Már a neolitikus ember is készített ilyen kockákat, amelyekről Skócia régészeti leletei tanúskodnak ezer évvel Platón előtt.


A régi görögök matematikájukhoz kapcsolódva tanulmányozták őket, és Proklosz írásaiban Püthagorasznak tulajdonítja fölfedezésüket. Más írások is igazolják, hogy Püthagorasz ismerte a tetraédert, a kockát, a dodekaédert, az oktaéder és az ikozaéder fölfedezését viszont Theaetetusnak, Platón kortársának tulajdonítják.
A platóni testek fontos szerepet játszottak Platón filozófiájában. Ezekről Platón a Timaiosz című munkájában ír, Kr. e. 360 táján. Az öt szabályos test közül négynek az őselemeket feleltette meg: a földet a kockának, a levegőt az oktaédernek, a vizet az ikozaédernek és a tüzet a tetraédernek. Az ötödikről, a dodekaéderről Platón homályosan nyilatkozik.
Ritkaságuk miatt Arisztotelész és Platón azt feltételezték, hogy ezek alkotják az anyag építőelemeit, és ezért a négy klasszikus elemmel és az éterrel kapcsolták össze őket.

Arisztotelész ezt az ötödik elemet az éterrel azonosította, azzal az anyaggal, ami az égi szférákat alkotja.
Eukleidész Elemek című könyvében eljutott a szabályos testek ismertetéséig is. Bebizonyította, hogy csak 5 féle szabályos test létezik, több nem lehetséges.


Kepler a Mysterium Cosmographicum című könyvében , amely 1596-ban jelent meg, a Naprendszer egy modelljét konstruálta meg szabályos testekbe és azok köré írható gömbök segítségével. Legbelül foglalt helyet az oktaéder, ezt követte az ikozaéder, majd a dodekaéder, a tetraéder és végül a kocka. Ez a modell közbülső láncszem volt Kepler kutatásaiban, és a modellt el is vetette, amikor fölismerte a bolygómozgás törvényeit.


5 csoportnak kiosztani az öt szabályos testet / vagy a hálójukat, amelyből össze kell ragasztaniuk / állítaniuk a testet. Pl. lehet ilyen  mókás is...


Töltsék ki a saját idomukra vonatkozóan az alábbi táblázatot! ( Majd a táblára kerüljön fel egyesítve!)
Töltsétek ki a saját idomotokra vonatkozóan az alábbi táblázatot!

a szabályos test neve
oldallapok fajtája
oldallapok száma
( l )
élek száma
( é )
csúcsok száma
(c )
egy csúcsból kiinduló élek száma
testátlók száma








Ismertek – e olyan szavakat, amelyben szerepel az tetra-; hexa-; okta; dodeka; ikoza- előtag? Ha igen, mi a jelentésük?
tetra-
 hex/ a-
 okt/ a-
dodeka-
 ikoza-

Euler- tétel állítása szerint :
Legyen a P konvex (vagy egyszerű) poliéder éleinek száma e, a lapjainak száma l és a csúcsainak száma c. Ekkor fennáll a következő egyenlőség

c + l = e + 2

Igazoljátok a tételt az általatok tanulmányozott szabályos test esetén!
Vizsgáljátok meg az egyiptomi piramis   ( négyzet alapú gúla) esetében  is igaz-e a tétel?





ÉRTELMEZÉS:

Az öt szabályos test
Név


Oldallapok száma (l )
4
6
8
12
20
Oldallapok fajtája
szabályos háromszög
négyzet
szabályos háromszög
szabályos ötszög
szabályos háromszög
Duálisa
tetraéder
oktaéder
hexaéder
ikozaéder
dodekaéder
Élek száma (é )
6
12
12
30
30
Csúcsok száma (c)
4
8
6
20
12
Egy csúcsból induló élek száma
3
3
4
3
5
Testátlók száma
0
4
3
100
36






























A hexameter a klasszikus epikai költészet versmértéke, amely hat verslábból áll. (A megnevezés szó szerinti fordítása hat mérték. ...
A tizenhatos (hexadecimális) számrendszer a 16-os számon alapuló számrendszer, az informatika kulcsfontosságú számrendszere (zsargonban: hexa).
Az oktáv (latin octava = 'nyolcadik') a zenében a diatonikus hangsor nyolcadik fokát jelenti, illetve azt a hangközt, amely az első fokot a nyolcadiktól elválasztja.
Az OktogonBudapest VI. kerületében, a Nagykörút és az Andrássy út kereszteződésében található nyolcszögletű tér, egyben a Millenniumi Földalatti Vasút egyik megállója. A szó görög eredetű, jelentése nyolcszög.






  TETRApack

Dodekafónia
Nyelv: görög


A bécsi iskola által századunk húszas éveiben a dúr-moll hangrendszer helyett bevezetett hangrendszer és komponálásmód; alapja a 12 fokú kromatikus skála, ill. az ebből kialakított sor (szenálizmus), s alapelve, hogy addig nem ismétlődhet meg egy hang, ameddig az egymással teljesen egyenlőnek tekintett többi 11 meg nem szólalt; az alapsornak vízszintes és függőleges tengelyek körüli elforgatásaiból és megfordításaiból összesen 48 lehetőséggel számolhat; e totális szervezettség ellenére a megszólaló mű a véletlenszerűség benyomását kelti,

Naptár dodekaéderből vagy filcből varrva labda







Rakj össze egy szabályos tetraédert az alábbi, golyókból összeragasztott idomokból!





Ikozaéder

A globális földtudomány számára az ikozaéder modell tekinthető a legperspektívebbnek, mivel ez közelíti meg legjobban a gömböt, mely bizonyos célokra a Föld modelljeként is elfogadható.
  • Sok vírus fehérjeburka (ún. kapszidja), például a herpeszé ikozahedrális szerkezetű. Ezt a szerkezetet lehet a legkönnyebben felépíteni azonos fehérjemolekulákból alkotott részegységekből.
  • Szerepjátékok gyakori kelléke a húsz oldalú dobótest. Az egyes akciók véletlenszerű kimenetelének meghatározására használják. Számozása lehet 0-tól 9-ig úgy, hogy minden szám kétszer szerepel, de a legtöbb modern kiadást 1-től 20-ig számozzák.
  • Az Icosagame játékot ikozaéder alakú táblán játsszák. A játék korábban Ico Crystal Game néven volt ismert.
  • A Scattergories táblás játékban ikozaédert használnak betűválasztásra. Hat, az angol nyelvben ritkán használt betű nem szerepel, mint például az X, a Q, és a Z.
  • Az ország – város játékban is alkalmazhatjuk a magyar abc 20 betűjével.

·         Anya, dehisz ez egy ikozaéder... ;)


FELADATOK

1.) Jelölje be azokat az állításokat, melyek logikai értéke igaz.!

a. Az oktaéder minden oldallapja szabályos háromszög.


b. Van olyan szabályos test, amelynek minden lapja szabályos hatszög.


c. Ha egy poliédernek 6 lapja van és10 éle, akkor a csúcsainak száma 6.


d. A dodekaédernek kevesebb lapja van, mint az ikozaédernek.


e. A szabályos ikozaédernek több lapja van, mint éle.


f. A kockának van szabályos hatszög alakú síkmetszete.




2. ) Valószínűség
Egy szabályos tetraéder oldalaira ráírtuk az 1, 2, 3 és 4számjegyeket. A tetraédert háromszor elgurítottuk egymás után, és a dobott számokat (a tetraéder alapján lévő számokat) egymás mellé írtuk (balról jobbra haladva). Mekkora a valószínűsége annak, hogy az így kapott háromjegyű számpáros lesz?
  
1/2
1/4
2/3
1/3

















Nincsenek megjegyzések:

Megjegyzés küldése