A csodálatos logaritmus

63. fogás

Lótuszvirágból logaritmus – avagy a csodálatos tavirózsa esete a csodálatos logaritmussal

Kiváló módszertanos tanárunk volt az ELTE-n  Dr. Ambrus András tanár úr. Beleültette a bogarat anno a fülembe, hogy lehet a logaritmust is „líraian” tanítani… Pár éve rátaláltam az írására a neten, s azzal  kiegészítettem az egykori feljegyzéseimet.

Ennek az eredménye ez a bejegyzés ( origami; kvíz – feladatok no és prezentáció). Íme:

Lótuszvirág - origami

1. A kinyitott szalvétát helyezzük az asztalra, úgy, hogy a minta nélküli oldala nézzen felfelé!

2. Hajtsuk a két felső sarkát a közepe felé!

         

 

3. Most hajtsuk a két alsó sarkot is középre, így négyszöget kapunk! 4. Forgassuk el a négyszöget 45°-kal, és a sarkokat hajtogassuk újra befelé

          

          5. Ezután fordítsuk át a szalvétát a másik oldalára, és itt is hajtsuk mind a négy sarkot befelé.

           

  6. Nyomjuk meg a középen lévő sarkokat, majd húzzuk ki a hátoldalról a négy sarkot!

 7. A virág már elkészült, már csak annyi a dolgunk, hogy kihúzzuk az alsó oldal virágai között a sarkokat.

KVÍZ – kérdés 1.

A csodálatos tavirózsa minden héten a kétszeresére nő, így 16 hét alatt növi be a tisztáson lévő kis tavat. Hány hét alatt növi be a tó felét?

( 15, mert a következő hétre benövi az egész tavat!)

KVÍZ – kérdés 2.

A csodálatos tavirózsa minden héten a kétszeresére nő, így 16 hét alatt növi be a tisztáson lévő kis tavat. Hány hét alatt növi be az egész tavat két tavirózsa?

( 15)

Grafikonon ábrázolva:

Tavirózsa által befedett tó-felület egy hét alatt megduplázódik. A megfigyelés

kezdetekor 1 négyzetméter volt lefedve. A következő grafikon a befedett terület

változását mutatja az idő függvényében.

0. hét – 1 m²

1. hét – 2 m²

2. hét – 4 m²

3.  hét – 8  m²

4.  hét – 16 m²

10. hét – 4,3  m²

5.  hét – 32  m²

 

Feladatok:

1. A grafikon alapján becsüld meg, hogy 20 négyzetméter befedéséhez hány hét

szükséges.

2. Hány hét múlva lesz 40, 80 illetve 10 négyzetméter lefedve? Az utolsó kérdésre adott

válaszod ellenőrizd grafikonon.

Az 1. kérdésre 4,3 hét a válasz.

 A 2. kérdés megválaszolásánál fontos látni, hogy

a lefedett terület egy hét alatt megduplázódik. Ennek értelmében a válaszok grafikon

nélkül kikövetkeztethetők: 5.3 hét, 6.3 hét, 3.3 hét.

A fenti gyakorlatokat követi egy kontextus-függő definíció megadása.

A lg210  jelenti azt az időmennyiséget, amely szükséges 10 négyzetméter lefedett terület

létrejöttéhez, ha a növekedési faktor 2 és a kiindulási lefedett terület 1 négyzetméter.

A következő feladatokat a kontextus segítségével oldják meg a tanulók. Miért

igazak a következő egyenlőségek?

log216 = 4 igaz, mert   lg216   jelenti azt az időmennyiséget, amely szükséges 16  négyzetméter lefedett terület

létrejöttéhez, ha a növekedési faktor 2 és a kiindulási lefedett terület 1 négyzetméter. 

log22= 1 igaz, mert   lg2 2    jelenti azt az időmennyiséget, amely szükséges 2 négyzetméter lefedett terület

létrejöttéhez, ha a növekedési faktor 2 és a kiindulási lefedett terület 1 négyzetméter.

log28 = 3 igaz, mert   lg2 8   jelenti azt az időmennyiséget, amely szükséges 8 négyzetméter lefedett terület

létrejöttéhez, ha a növekedési faktor 2 és a kiindulási lefedett terület 1 négyzetméter.

log327 = 3, igaz, mert   lg3 27   jelenti azt az időmennyiséget, amely szükséges 27  négyzetméter lefedett terület

létrejöttéhez, ha a növekedési faktor 3 és a kiindulási lefedett terület 1 négyzetméter.

log525 = 5

E példákban észreveszik a tanulók a következő összefüggéseket:

2⁴= 16,

2¹= 2

2³= 8

3³ = 27,

 5² =25

Az előbbi gyakorlatok alapján kialakul a tanulókban a logaritmusról egy képzet,

a logaritmus kitevőt jelent, amit kontextushoz kötve rögzítenek. A továbbiakban a

logaritmus fontosabb tulajdonságainak megsejtése következik.

További feladat:

A tavirózsás példa alapján magyarázd meg, hogy miért teljesül:

log24 + 1 = log28

Egy hét alatt megduplázódik a lefedett terület, azaz 8 négyzetméter lefedéséhez

1 héttel több idő kell mint 4 négyzetméter lefedéséhez.

1 helyett írhatunk log22-t, mivel

2-es növekedési faktor mellett 1 hét alatt 2 négyzetméter lesz a lefedett terület, ha a

kiindulás 1 négyzetméter.

log24 + 1 = log28

log24 + log22 = log28

log23 + 1 = log26

Egy hét alatt megduplázódik a lefedett terület, azaz 6 négyzetméter lefedéséhez

1 héttel több idő kell mint 3 négyzetméter lefedéséhez. 1 helyett írhatunk log22-t, mivel

2-es növekedési faktor mellett 1 hét alatt 2 négyzetméter lesz a lefedett terület, ha a

kiindulás 1 négyzetméter.

log27 + 1 = log214

log26 + log22 = 12

A fenti példák elvezetnek a log2a + log2b = log2ab

azonossághoz,

amit természetesen formálisan is igazolni kell.

Az első azonosság azt mondja ki, hogy egy szorzat logaritmusa egyenlő a tényezők ugyanazon alapú logaritmusának összegével.

Formulával:

Feltételek:a, x, y Î R⁺, a ¹ 1. Azaz a, x, y pozitív valós számok, a nem lehet 1.

(  A tapasztalatok szerint néhány tanuló gyorsan elhagyja a tavirózsás kontextust

és a logaritmus formális definíciójával és az azonosságokkal dolgozik. Sok tanuló

viszont végig megmarad a kontextus mellett, a formális feladatokat áttranszformálják a

kontextusba. A kontextus természetesen bővül a természetben előforduló exponenciális

változásokkal. (Radioaktív bomlás, légnyomás változása, fény terjedése közegben,

folyadékban, baktériumok szaporodása, népesség szaporodás stb.)

A második azonosság azt mondja ki, hogy egy tört logaritmusa egyenlő a számláló és a nevező ugyanazon alapú logaritmusának különbségével.


Feltételek: a, x, y pozitív valós számok, a nem lehet 1.

A harmadik azonosság szerint egy hatvány logaritmusa egyenlő az alap ugyanezen alapú logaritmusának és a hatványkitevőnek a szorzatával.


Feltételek: a, x, pozitív valós számok, a nem lehet 1, k pedig tetszőleges valós szám lehet.

A log3 2  értékét grafikonról már leolvastuk. Ha pontosabb értéket akarunk, akkor használunk számológépet.

A logaritmussal való számolás közben újabb kérdés fogalmazható meg:

Valamely szám adott alapú logaritmusából hogyan számíthatjuk ki annak a számnak más alapú logaritmusát ?...