HALK MONDATOK - Végtelen mértani sorok

107. fogás

HALK MONDATOK   -  12. osztály  Végtelen mértani sorok

Az osztálytermek általában zajos helyek. Ez a gyakorlat annak a lehetőségét teremti meg, hogy tanár és diák egyaránt némi szokatlan békéhez és nyugalomhoz jusson…

A beszéd kikapcsolásával a megfigyelés folyamatai magasabb szintre lépnek.

A diákok négyes csoportokban dolgoznak.(Ha a létszám igényli, akkor lehet akár 3, akár 6 fős csoport is, de ekkor másként kell elosztani a borítékba a kártyákat! )

Minden csoportnak van egy borítéksorozata, amelyből mindenkinek jut egy – egy boríték. A borítékok kártyákra írt információkat, ábrákat, matematikai levezetéseket tartalmaznak. Az egyes borítékokba kerülő kártyákat úgy válogassuk össze, hogy senki se tudjon egy teljes levezetést, teljes kidolgozott feladatot, stb. összerakni a sajátjából.

A feladat az, hogy megadott időre a csapattagok matematikailag, logikailag helyes témafeldolgozásokat, levezetéseket alkossanak.

A következő szabályokat tartsuk be:

Ø  Teljes csend; senki sem szólalhat meg.

Ø  Mindenki a helyén marad.

Ø  A diákok kirakják maguk elé az asztalra a kártyáikat. Figyelik a többiekét, vajon kinek lehet szüksége egy kártyára; azt odahelyezik a társuk elé az asztalra. Ő a felajánlott kártyát megpróbálja a sajátjaihoz beilleszteni, ha nem passzol, ő is továbbadhatja. ( Egy – egy szimpatikusnak tűnő téma kártyáit is kezdhetik gyűjteni, vagy ha éppen több kártyát szerzett valaki egy témából, akkor érdemes annak gyűjtésébe belefogni.

Ø  Nem kell sorba menni, egyszerre többen is pakolhatják a kártyákat.

Ø  A játékosok csak adhatnak, maguktól el nem vehetnek, nem kérhetnek kártyát társaiktól.

A fenti módszerrel feldolgozandó anyagrész: végtelen sorok. Az alapórás anyaghoz kiegészítéseként tárgyalható ez a téma, egy kis „csemege”.

A borítékokba feldarabolva bekerülő témák:

-          Achilleus és a teknősbéka

-          A csokoládépapír

-          A teremtő formula

-          A fraktálok

-          A tégla ára

Próbáltam arra ügyelni, hogy az összetartozó részek elég „látványosan” jelezzék, hogy egy témához tartoznak. ( Esetleg azonos témához tartozó kártyákat azonos színű lapok legyenek…)

Ø  A feladat akkor fejeződik be, amikor mindenki pontosan kirakott egy levezetést.

Ø  Kemény lecke ez a valódi csoportmunkából, az együttműködésből és az önfegyelemből!

Ø  Értékeléskor egyrészt az anyag tartalmát, másrészt a gyakorlat fegyelmét értékeljük!

Ø  Csapatonként egy-egy ember foglalja össze az általa feldolgozott témát! (Osszuk el ezt úgy, hogy minden téma sorra kerüljön!)

Ø  A beszámolók után, vagy a következő órán vagy házi feladatként kapnak a csapatok egy feladatsort, amelynek példái szorosan kapcsolódnak a kiadott témákhoz.

A teremtő gondolkodás útján

Induljunk ki az egészből; s harmadoljuk, majd harmadoljuk a harmadát, stb.

Jelöljük egy körben be ezeket a keletkező részeket!

Minél tovább osztjuk fel a részeket a kör egyik felén, annál közelebb kerülünk az ½-hez!

A '0,999…' szimbólum ugyanazt a számot jelöli, mint az '1' szimbólum. 

Magának az 1 = 0,999… egyenlőségnek (illetve az ilyen típusú egyenlőségeknek) sokféle bizonyítása ismert, ezek közül egy:

1/3+2/3=1

Ugyanez tizedestört alakban:

0,33333...+0,666666....=0,9999999....

A tégla ára  

Régen egy kereskedő téglát árusított, s az árát így határozta meg:

Egy tégla ára 4 fillér meg egy fél tégla.

Mibe kerül egy tégla?

Milyen meglepő következtetésre juthatunk? Mi a megoldás kapcsolata az alábbi rajzzal?

1 tégla        

 

Feladatok    - Végtelen mértani sorok

1 .)  Melyik p/q alakú tört felel meg a 0,23232323… végtelen szakaszos tizedes törtnek?

2.) Mit gondolsz, van-e összege az alábbi sornak:   2/5 + 2/25 + 2/125…

Segítségül elemezd az alábbi ábrát!

3.) Mit gondolsz, van-e összege az alábbi sornak:

              a/2 + a/4 + a/8 +…               a > 0

     Szemléltesd a végtelen sort téglalapokkal! Indulj ki az a és 1  oldalú téglalapból! 

Segítség az induláshoz: 

      

4.) A fának hajított kő paradoxona

Ez a paradoxon az  Achilleus és a teknősbéka című paradoxon egy variánsa.

Zénón nyolclábnyira áll egy fától, kezében egy követ tart. A követ a fa felé hajítja. Ahhoz, hogy a kő eltalálja a fát, először meg kell tennie a köztük lévő távolság, azaz a nyolc láb felét, ehhez pedig valamennyi időre van szüksége. Ezután még mindig hátra van négy láb, ennek megtételéhez pedig először ennek a felét, vagyis további két lábat kell repülnie, és ehhez ismét adott idő kell. Ezután további egy, majd fél, majd negyed lábat kell megtennie, és így tovább a végtelenségig. Zénón következtetése: a kő sohasem éri el a fát.

Helyes Zénón következtetése? Hogyan oldható fel ez a látszólagos ellentmondás?

5.) Mi marad, ha mindig elhagyunk két-két   ( besatírozott ) négyzetet?

 

6.) Nevezetes fraktál az úgynevezett Sierpinski-féle háromszög, amelyet úgy származtatunk, hogy a szabályos háromszög oldalfelezési pontjait összekötjük (ezáltal 4, az eredeti szabályos háromszöghöz hasonló keletkezik), s a középső (fekete) háromszöget elhagyjuk, mintegy lyukat kivágva a háromszögből. Ezután az így keletkező háromszögeken tovább folytatjuk az eljárást, minden háromszöget felezünk, a középső részeket elhagyjuk – mintha ollóval egy kicsipkézett papírmintát csinálnánk… Folytasd  a sort legalább még 2 taggal!

7.)  Add meg az alábbi valós számoknak a másik (tizedestört) alakját!

a) 3,45=
b) 89, 99999999999999999999999…=