12. fogás
PIAC - azaz információkereskedelem az osztályban
Ezt a gyakorlatot szigorú időkeretek között hajtjuk végre.
A gyerekek 3-4 (5) fős csoportokban dolgoznak; minden csoportnak kijelölünk egy témakört a tananyagból, s személyenként megkapják a hozzá tartozó forrásanyagot. Az anyag főként szöveges legyen. Emellett kapnak a csoportok egy-egy min. A/3-as méretű lapot, 3-4 ( 5) különböző színű filctollat / tollat.
Az anyag 4-5 témakörre való bontása általában beválik, így egy-egy témát kétszer kell kiosztani – egymástól távolabb ülő csoportoknak.
Előkészületek : - csoportok beosztása,
- az időbeosztás táblára írása,
- a teszt elkészítése, írásvetítőn vagy projektorral való kimutatása, esetleg felolvasása
1. 1 perc
szakasz – a teszt/ tanulási célok megismerés – jegyzetelni TILOS! A tesztet az 5. szakaszban kell megoldaniuk.
Cél : Pithagoras tételének kimondása; a tétel bizonyítása – többféle módon is; √2 értéke, ábrázolása; fontos tudnivalók a szabályos háromszögről.
2. 12 perc
A csoportoknak a forrásanyagot kell egy poszterré átalakítani. A posztert látogatók számára kell megtervezni, hogy annak alapján megértség az anyagot. Legyen rajta sok kép, s kevés szöveg (pl. max. 10 szó).
Kérjük meg, hogy a csoport tagjai közül mindenki írjon, rajzoljon a poszterre – ez könnyen ellenőrizhető, ha mindenki más színű íróeszközzel dolgozik.
A szakasz vége felé a tanár járja végig a csoportokat, s jelezze, hogy mi kell még, hogy szerepeljen a lapon.
3. 8 perc
A csoportok a teszt kitöltéséhez tehát az anyag egy részével megismerkedtek, most a többit egymástól kell megtanulniuk.
A csoportok egy – egy tagja „otthon” marad, ő lesz az árus. A többiek mennek a piacra információt gyűjteni. Az árus helyén elmagyarázza a poszterüket a látogatóknak, úgy, hogy csak a látogatók kérdéseire válaszolhat!
Mivel több standot” is fel kell keresniük rövid idő alatt, célszerű, ha a csoporttagok egyesével indulnak az információkért. Mindenkinek jegyzetet kell készíteni!
4. 10 perc
Mindenkinek, aki visszament a saját bázisára, meg kell osztania társaival a szerzett információkat.
5. 8 perc
A teszt kitöltése minden segítség nélkül. ( El kell az osztályban rakni / le kell fordítani az elkészített plakátokat!)
6. 5 perc
A diákok minden csoportban összedugják a fejüket, hogy megnézzék, fel tudnak-e mutatni egy teljes, pontos válaszsort.
FONTOS, HOGY ERRŐL A SZAKASZRÓL NE TUDJANAK A ÓRA ELEJÉN!
Végezetül a tanár áttekinti a tesztet, különösen a fogós kérdésekre összpontosít.
Ekkor vagy a következő órán megbeszélik a teszt megoldásait.
A teszt: PITHAGORASZ TÉTELE
1.) Ha egy derékszögű háromszög oldalainak hossza növekvő sorrendben x; y; z, akkor hogyan írható fel rá Pithagorasz tétele?
2.) Milyen tökéletes számokat ismertek a pithagoreusok?
3.) Milyen pithgoraszi számhármasokat ismersz Te?
4.) Hogyan kell kifeszíteni a 11 csomós zsinórt, hogy derékszöget lehessen kimérni vele?
5.) Hogyan szól Pithagorasz tételének megfordítása?
6.) Az egységszakasz ismeretében hogyan szerkeszthető meg a √3 hosszúságú szakasz?
A forrásanyagok az alábbi témákat dolgozták fel :
- Pithagorasz élete
- Pithagorasz tételének több bizonyítása ( puzzle is...)
- Pithagorasz tételének megfordítása
- Pithagorasz csigája
- A 11 csomós zsinór
- A pithagoraszi számhármasok
- A térbeli Pithagorasz tétel
Ízelítő a csoportnak kiadott anyagokból:
1. ) Pitagorasz (Püthagorasz) (Kr. e. 580-520 körül.) |
Az egyik legismertebb nevű ókori görög matematikus. Legendákkal körülvett életéről alig tudunk valamit. Szamos szigetéről származott, lehet, hogy föníciai volt. Széles látókörű, a tudományokat művelő, a filozófia és a matematika iránt szenvedélyesen érdeklődő személyiség volt. Ismerte Thalész-t, kapcsolatban volt vele. Tanult Egyiptomban és járt Mezopotámiában is.
Utazásai után először Szamos szigetére ment, hogy filozófiai iskolát alakítson. Itt azonban ez nem sikerült neki, és ezért a dél-itáliai Krotón-ban telepedett le, ahol Milón személyében egy gazdag patrónusra talált. Milón nemcsak gazdag volt, hanem korának egyik legerősebb fizikumú embere is. Itt alapította meg tanítványaival a Püthagoreus Testvériséget. Pitagorasz a filozófus szót is ekkor alkotta meg. A Testvériség tulajdonképpen egy vallási közösség volt, a szám volt imádatuk tárgya. A püthagoreusok a számok vizsgálatát misztikus jelenségekkel kapcsolták össze.
Számmisztikájuk az arány fogalmára épült. Az egyes számok maguk is valamilyen fogalom jelképei voltak. Az 5 az emberi mikrokozmosz tökéletes számának tartották. Az 1, 2, 3, 4 és 5 a "világ gyökerét" jelentették, a 10 = 1 + 2 + 3 + 4 pedig a világ tökéletessége, az istenség volt. Ilyen például a 6, mert 1+2+3=6, ahol 1, 2 és 3 a 6 osztói. Tökéletes szám a 28 is, hiszen 1+2+4+7+14=28. A pitagoreusok ismerték még a 496 és 8128 tökéletes számokat.
Már tudták, hogy a Föld gömb alakú és mozog. Kedvelt mértani alakzatuk és misztikus jelvényük az ötágú csillag, pentagram, a Pithagorasz- féle csillag volt.
Érdekesség, hogy a női egyenjogúság hívei voltak, számos nő is volt tagjai között. Az iskola minden tagja átok terhe alatt esküt tett, hogy soha nem fedik fel a világnak matematikai felfedezéseiket. Részben ez a szigorú titoktartás is az oka annak, hogy Pitagoraszt kortársai csak zavaros fejű prófétának tekintették, semmint tudós matematikusnak. Platón is a püthagoreusokat csak életmódjuk miatt dicsérte. Arisztotelész azonban már felismerte és hangsúlyozta Pitagorasz és követőinek matematikus és tudós voltát.
Munkásságáról:
A nevét viselő tétel (A derékszögű háromszög befogóira emelt négyzetek területeinek összege egyenlő az átfogóra emelt négyzet területével) nyomaira már előtte felbukkan Egyiptomban és Babilóniában. Pitagorasznak és követőinek számos számelméleti felfedezést is köszönhetünk.
A nevét viselő tétel (A derékszögű háromszög befogóira emelt négyzetek területeinek összege egyenlő az átfogóra emelt négyzet területével) nyomaira már előtte felbukkan Egyiptomban és Babilóniában. Pitagorasznak és követőinek számos számelméleti felfedezést is köszönhetünk.
Ismerték az első négy tökéletes számot. Ilyen például a 6, mert 1+2+3=6, ahol 1, 2 és 3 a 6 osztói. Tökéletes szám a 28 is, hiszen 1+2+4+7+14=28. A pitagoreusok ismerték még a 496 és 8128 tökéletes számokat.
A püthagoreusok voltak a prímszámok első módszeres tanulmányozói. Eljutottak az irracionális számok felfedezéséig is, de ezt titokként kezelték. A sors iróniája, hogy a bizonyítás éppen a mester, Pitagorasz tételén alapul. Hippaszosz észrevétele a legendák szerint szörnyű indulatokat váltott ki mesteréből. Az irracionális viszony felfedezése ugyanis úgy megdöbbentette a pitagoreusokat, hogy hosszú ideig titokban tartották. Amikor pedig éppen Hippaszosz a titkot nyilvánosságra hozta, kizárták a pitagoreusok szövetségéből. Halálát hajótörés okozta. Egyes népszerű beszámolók szerint Hippaszoszt társai vetették egy hajóról a tengerbe, hogy így akadályozzák meg a borzalmas hír elterjedését. Mások úgy magyarázzák halálát mint az istenek büntetését a titoktartás megszegése miatt.
Megtalálták a pitagoraszi számhármasok előállításának módját. A számtani középet és a különböző középértékeket is a püthagoreusok vezették be.
Már ismerték szabályos testek közül a tetraédert, a kockát és a dodekaédert.
Már ismerték szabályos testek közül a tetraédert, a kockát és a dodekaédert.
Pitagorász és tanítványai a matematikát szakterületekre osztották. (aritmetika, zene, geometria és csillagászat, azaz szám, elrendezés, forma és mozgás) Pitagorasz bizonyítás nélkül kimondta, hogy az egyenlő kerületű síkidomok között a kör területe a legnagyobb, és az egyenlő felületű testek között pedig a gömb térfogata a maximális.
Úgy tudjuk Pitagorasz mondta ki elsőként, hogy egy pont körül a sík a szabályos sokszögeknek csak három fajtájával tölthető ki maradéktalanul, a szabályos háromszögekkel, a négyzetekkel, és a szabályos hatszögekkel.
Úgy tudjuk Pitagorasz mondta ki elsőként, hogy egy pont körül a sík a szabályos sokszögeknek csak három fajtájával tölthető ki maradéktalanul, a szabályos háromszögekkel, a négyzetekkel, és a szabályos hatszögekkel.
2.) 11 csomós zsinór
Az ókori Egyiptomban nagy valószínűséggel a következő módszert alkalmazták derékszög szerkesztéséhez: Egy kötélre egyenlő távolságokra egymástól összesen 11 csomót kötöttek, majd a kötél két végét (az adott távolságot itt is tartva) összekötötték egymással. Így kaptak egy olyan kötélből lévő „gyűrűt”, melyen egyenlő távolságban 12 csomó van. Vajon hogyan csináltak derékszöget vele?
Milyen háromszöget kapok, ha a kötelet a csomópontokon feszítem ki? Egyáltalán hány lehetőség van? Mikor lesz derékszögű a háromszög?
Az oldalai lehetnek –e :
– 1; 1; 10 egység hosszúak?
– 1; 2; 9 egység hosszúak?
– 1; 3; 8 egység hosszúak?
– 1; 4; 7 egység hosszúak?
– 1; 5; 6 egység hosszúak?
– 2; 2; 8 egység hosszúak?
– 2; 3; 7 egység hosszúak?
– 2; 4; 6 egység hosszúak?
– 2; 5; 5 egység hosszúak?
– 3; 3; 6 egység hosszúak?
– 3; 4; 5 egység hosszúak?
– 4; 4; 4 egység hosszúak?
Találsz-e még olyan háromszöget, amelynek oldalainak mérőszáma egész szám és a kettő kisebb négyzetének összege kiadja a harmadik négyzetét?
3.) Pitagoraszi számhármasok
Pitagoraszi számhármason három olyan pozitív egész szám együttesét értjük, amelyek kielégítik az:
x2+y2=z2 egyenletet.
A pitagoraszi számhármasokkal, mint oldalhosszúságokkal szerkesztett háromszögek mindig derékszögűek lesznek, hiszen megfelelnek Pitagorasz tételének.
Természetesen egy számhármas pozitív egész számú többszöröse is pitagoraszi számhármas. Így például a 6, 8, 10. A nagyobb számok között azonban egyre ritkábbak azok a pitagoraszi számhármas, amelyek ne lennének valamelyik kisebb számhármas többszörösei.
A felső sorban a négyzetszámok, az alsó sorban pedig a páratlan számok vannak. Az alsó sorban található négyzetszám a felső sorban a "felette" lévő két négyzetszámmal együtt pitagoraszi számhármast alkot. Azt hogy végtelen sok ilyen számhármas van, Eukleidész bizonyította be először.
Az alábbi formulával pitagoraszi számhármasokat tudunk előállítani:
(m2-n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2.
Itt m és n tetszőleges pozitív egész számok, ahol m>n.
Ha azt akarjuk, hogy a kapott számhármasok "függetlenek" legyenek, azaz ne legyenek egy kisebb számhármas többszörösei, akkor az m és n változókra a következő kikötést kell tenni:
- Az m és n számok különböző paritásúaknak kell lenniük. (egyik páros, másik páratlan.)
- Relatív prímek legyenek, azaz (m,n)=1
m | n | x | y | z | x2 | y2 | z2 |
2 | 1 | 3 | 4 | 5 | 9 | 16 | 25 |
3 | 2 | 5 | 12 | 13 | 25 | 144 | 169 |
4 | 3 | 7 | 24 | 25 | 49 | 576 | 625 |
4 | 1 | 15 | 8 | 17 | 225 | 64 | 289 |
5 | 4 | 9 | 40 | 41 | 81 | 1600 | 1681 |
A pitagoraszi számhármasokkal már a babilóniai régészeti leleteken is találkozhatunk, és az ókori egyiptomiak és kínaiak is ismerték, mint tapasztalati tényt.
4.) Püthagorasz csigája, avagy milyen hosszú a „gyök tizenhárom”? Szerkeszd meg!
Püthagoraszi számhármasokban nem kifejezhető derékszögű háromszögek mindig irracionális átfogót eredményeznek.
5.) Hippokratész holdacskái
Hippokratész(i. e. 470.-410.) khioszi görög matematikus. Nem tévesztendő össze kortársával a kószi Hippokratésszel, a híres orvossal. Ő eredeti foglalkozását tekitve kereskedő volt. Miután tönkrement, Athánbe költözött és matematikával, pontosabban geometriával kezdett foglalkozni.Munkásságáról: Hippokratész Sztoikheia (Elemek) című művében kísérletet tett a geometria axiómatikus felépítésére, de művének csak töredékei maradtak fenn. Ez a mű Eukliész azonos cimű művének előfutárának tekinthető. Ebben Eukleidész felhasználta elődjeinek, köztük Hippokratész-nek eredményeit.
Hippokratész a kocka kettőzésének feladatában is eredményeket ért el. Ismerte a hasonlóság fogalmát és a Pithagorasz tételt is. Ez utóbbi szerepel Elemek cimű művében.
 Hippokratész holdjai |
Hippokratész ókori görög matematikus sokat foglalkozott körívek és egyenesek által határolt síkidomok területének meghatározásával. A most következő példa, Hippokratész "holdacskái", egy konkrét példa arra, hogy görbe vonalakkal határolt síkidom négyszögesíthető. Ez a feladat a középiskolákban használatos "Geometriai feladatok gyűjteménye I." kötetében szerepel az 1523. számon.
Feladat:
Az ábrán lévő holdacskákat a derékszögű háromszög oldalai fölé szerkesztett félkörök határolják. Bizonyítsuk be, hogy a holdacskák területének összege a háromszög területével egyenlő.
Megoldás:
A holdak területét megkapjuk, ha a befogók fölé emelt félkörök területéből kivonjuk azoknak a körszeleteknek a területét, amelyeket úgy kapunk, hogy az átfogó fölé emelt félkör területéből kivonjuk a háromszög területét.
Formulával:
Jelöljük a derékszögű háromszög befogóit "a" és "b", az átfogót pedig "c" változóval. Ekkor a derékszögű háromszög területe: ab / 2, a befogók fölé emelt félkörök területe:
(a/2)2 x p /2 és (b/2)2 x p /2.
Az átfogó fölé emelt félkör területe: (c/2)2 x p /2.
Így a körszeletek területe: (c / 2)2 x p / 2 - ab / 2.
Holdak területe tehát = (a / 2)2 x p / 2 + (b/2)2 x p / 2 - [(c/2)2 x p / 2 - ab / 2].
Zárójelek felbontása után: a2p /4 + a2p /4 - c2p /4 + ab / 2.
Emeljük ki p / 4-t, így p / 4(a2 + b2 - c2) + ab / 2.
A zárójelben szereplő kifejezés Pithagorasz tételének értelmében nullával egyenlő, ezért a holdacskák területe = ab / 2. És ezt kellett igazolni.
Nincsenek megjegyzések:
Megjegyzés küldése