Kevert csoportok – Szemelvények az ókori matematika tárgyköréből

H

90. fogás

Kevert csoportok – Szemelvények az ókori matematika tárgyköréből    9. osztály

A 89. fogás kiegészített változata ( Az egyiptomi részt lásd ott.)

A 100. óra mindig ad valami kis lehetőséget arra, hogy matematika legyen, de másKÉPpen.

Most a mi matematikáknak (középiskola; 9. osztály) keretük a gyökereit az ókori egyiptomi, mezopotámiai és egyiptomi matematikában.

 Lehetnek a csoportok kevertek, de az agy fogaskerekei azonban mégis mozognak, hiszen az osztály minden tagjának lehetősége van arra, hogy meghallgassa és megvitassa a többiek hozzászólását.

1. Mielőtt hozzáfognánk, magyarázzuk el a gyerekeknek a tanulási célt, a „Kevert csoportok” egész folyamatát! A feladatot ezután két részben végezzük el.
2. Osszuk fel az osztályt 4 (5) fős csoportokra. Minden csoport kap egy – egy kutatási témát, s mellé feladatot, célt, határidőt. Minden utasítás / feladat legyen más. Itt a matematika egyes területeit tekintjük át, országokra lebontva.
3. A csoportok nekifognak a számukra kijelölt feladat megoldásához; kutatási terület megvizsgálásához. Kapnak elméleti, matematika történeti anyagot, ókori számtanpéldát és megoldandó feladatot. Arra kértem őket, hogy mindenki igyekezzen a füzetébe minél részletesebben jegyzetelni.
4. Az eljárás közben mindenki maga felelős a megértésért és a szerzett információk pontos lejegyzéséért.
5. az első szakasz vége felé a tanár az egyes csoportokon belül mindenkinek ad egy betűjelet: A,B,C,D,E, amely eldönti, melyik új csoportba kerül majd a következő szakaszban a diák.
6. A csoportok összekeverednek: az összes A jelű egy új csoportot alkot; a B-sek is, stb…
7. Ezekben az új csoportokban a diákok sorban beszámolnak az előzőekben szerzett tapasztalataikról, információikról, feladatmegoldásukról. Itt is jegyzetelniük kell!
8. Ezután visszaülnek az eredeti helyükre, s a csoportoknak kiadjuk a feladatlapot, amelyet együtt kell megoldaniuk. Mindenki ugyanazt a jegyet kapja, amelyet a dolgozatra adni lehet.

8/a VAGY önállóan ír mindenki dolgozatot s a csoport átlagjegyét adjuk a csoporttagoknak…

PRÍMEK

Eratoszthenész szitája

Közismert ERATOSZTHENÉSZnek az az eljárása,

amelyetEratoszthenész szitájának neveznek, mert segítségével

a prímszámokat mintegy ki lehet szitálni a természetes számok

közül. Ennek lényege az, hogy sorban felírjuk a páratlan számokat,

azután bekarikázzuk az első prímszámot, a 3-at, és áthúzzuk az

összes 3-mal osztható számot. Ugyanígy járunk el az 5-tel, majd a

7-tel stb. Az eljárást folytatva, végül a felírt számok közül csak a

bekarikázott prímszámok maradnak meg. Természetesen ezekhez

még hozzá kell számítanunk a 2-t. Tehát ERATOSZTHENÉSZ szitája

így néz ki:

Feladatok:

1. ) Az alábbi természetes számok közül melyek prímek?

41; 51; 77; 361; 441

2.) Ha p prímszám, akkor az alábbiak közül melyik lehet prím?

p+3;   p+11;   p+13;    p+6

3. ) Igazold, hogy egy 3-nál nagyobb prímszám négyzete 24-gyel osztva 1-et ad maradékul.

(DIOPHANTOSZI) EGYENLETEK

AZ ALEXANDRIAI DIOPHANTOSZ (III. század). Életéről csak annyit tudunk, amennyiről egy tréfás rejtvény értesít  bennünket, az Anthologia Palatinában. Ez ókori görög versek gyűjteménye, amelyet KONSZTANTINOSZ KEPHALOSZ, a bizánci udvar

főpapja foglalt egységbe i. sz. 917-ben. A 15 kötetes gyűjtemény nevét azért kapta, mert a Pfalzi Fejedelemségben találták meg, amelynek latin neve Palatinatus.

Az antológia szerint DIOPHANTOSZ  sírfelirata így szól:

Vén Diophantoszt rejti e kő. Bár ő maga szunnyad,

Megtanította a sírt: mondja el élte sorát.

Évei egyhatodát tölte ki a gyönge gyerekkor,

Még feleannyi lefolyt, s álla szakálla kinőtt.

Egyheted eltelt még, és nászágy várta a férfit,

Elmúlt újra öt év, és fia megszületett.

Ez feleannyi napig láthatta a fényt idefenn, mint

Atyja, mivel neki így szabta az isteni sors.

őt gyászolva a sír felé hajlott agg Diophantosz:

Négy évvel később ő is elérte a célt.

Mondd, hány esztendőt élt hát meg gyászban, örömben

S itta az édes fényt, míg hona lett ez a sír?

DIOPHANTOSZ nevét megörökítette az  Arithmetika című 13 kötetes könyve, amelyből 6 kötet

maradt fenn.

Oldjuk meg az egész számok halmazán!

1.)    xy = x + y

2.)    Melyik az a kétjegyű szám, amely számjegyeinek kétszeres szorzatával egyenlő?

GEOMETRIA-- PIHTAGORASZ TÉTELE

  

Feladat:

Egy egyenlőszárú háromszög alapjának és szárának aránya 48 : 25. Az alaphoz tartozó magasság hossza 35cm. Határozd meg a háromszög oldalainak hosszát!

Görögországba először Thalész vitte be a geometriát Egyiptomból. Kétségkívül sokat tanult az egyiptomiaktól, de az is biztos, hogy sok mindent maga fedezett fel. Tudásának e két forrását ma már lehetetlen elkülöníteni. Az egyiptomiakkal szemben Thalészben döntően új az, hogy bizonyítási igénye volt és igyekezett általánosítani. Az ókori matematikában ő az első, aki felteszi a "miért" kérdést. Ezzel érdemelte ki a matematika atyja nevet.  Thalésznek tulajdonítják a szög fogalmát és a csúcsszögek egyenlőségének belátását. Ő állapította meg, hogy az egyenlő szárú háromszögben a szárakkal szemben egyenlő szögek vannak és hogy két háromszög egybevágó, ha egy oldalban és a rajta levő két szögben megegyeznek. A francia tankönyvek Thalész tételének nevezik a következőt Ha valamely háromszög egyik oldalával párhuzamos egyenest rajzolunk, akkor ez a másik két oldal egyenesével az eredeti háromszöghöz hasonlót alkot. Azt is ő mondta ki, hogy a kört az átmérő két egyenlő részre osztja, valamint, hogy a háromszög szögeinek összege 180 fok és végül az általunk ismert Thalész-tételt. i. e. 585-ben megjósolt egy napfogyatkozást.

 

Hogyan lehet megszerkeszteni egy háromszöget, ha adott egy oldala, az ehhez az oldalhoz tartozó magassága és egy másik oldalhoz tartozó magasság?

Írjunk kört az egyenlőszárú háromszög egyik szára., mint átmérő fölé! Bizonyítsuk be, hogy ez a kör az alapot felezi.

Thalész az egyiptomi piramis magasságának kiszámítását valószínűleg úgy végezte el. hogy egy bot árnyékát mérte meg abban a pillanatban, amikor a bot árnyéka egyenlő volt a bot magasságával. Így ekkor a piramis árnyéka megadta a piramis magasságát. De az is lehetséges, hogy már ismerte és alkalmazni tudta a háromszögek hasonlóságának elvét.

 

6 láb /10 láb  = x₁ / 800 láb

Csúcsszögek egyenlőségét is  bizonyította.

A görög matematika sokkalta kifinomultabb volt, mint bármely korábbi kultúra matematikája. A görögök előtti időkből fennmaradt matematikai emlékekben mindenütt az induktív érvelés módszerét használták, azaz ismételt megfigyelések alapján állították fel szabályaikat. A görög matematikusok ezzel szemben a deduktív érvelés módszerét használták. A görögök a logika segítségével vezették le a következtetéseket a definíciókból és az axiómákból.

Az ókor legnagyobb mérnökének, az alexandriai Hérónnak nagy jelentőséget tulajdoníthatunk a matematikának gyakorlatban való alkalmazásáért.

Hérón az első földméréstani könyvben, a Peri Dioptrasz című alkotásában írja le a földmérés műszereit és a különböző földméréssel kapcsolatos feladatok megoldásait. Tárgyalja két pont magasságkülönbségének meghatározását, egyenes kitűzését két nem összelátható pont között, a terület-meghatározásokat és a szögmérés módszereit.

Másik könyve, a Metrika (Méréstan) területszámítási és geometriai problémákat tárgyal, s többek között megadja a nevezetes Hérón-képletet is, amelynek segítségével  a háromszög területét annak oldalhosszából meg lehet határozni. ( A fél kerület _{s= ( a+ b+ c) : 2} , és a területszámítás képlete pedig a következő: )

Az ókori görög matematika fejlődésében nagy szerepet játszottak még Démokritosz és Zénón filozófusok, azonban Arkhimédésznek (Kr.e. 287-212) rendkívül nagy jelentőséget tulajdoníthatunk. Tőle származik a parabolaszelet négyszögesítésének elve és sok más tétel is.

Egy háromszög oldalai: 7,8,9.  Mekkora a területe?

( Hérón tudta, hogy az eredmény nem racionális szám lesz!)

Elemek már tartalmaz bizonyításokat arra, hogy 2 négyzetgyöke irracionális és hogy a prímszámok száma végtelen.

I. 47. Tétel

A derékszögű háromszögekben a derékszöggel szemközti oldalra emelt négyzet egyenlő a derékszöget közrefogó oldalakra emelt négyzetek összegével.
Legyen ABC egy derékszögű háromszög, és benne BAC a derékszög. Azt állítom, hogy a BC oldalú négyzet egyenlő a BA meg az AC oldalú négyzet összegével.

Legyen ugyanis BDEC a BC oldallal szerkesztett négyzet, GB, HC pedig a BA, AC oldalra emelt négyzet^[I_46], és húzzuk A-n át a BD és a CE egyenessel párhuzamosan AL-t^{[I_30, I_31]}, és húzzuk meg AD-t és FC-t.
Minthogy pedig mind BAC, mind BAG derékszög, így a BA egyenesen levő A pontnál két AC, AG egyenes fekszik nem ugyanazon az oldalon, és két derékszöggel egyenlő szögeket alkotnak egymás mellett; tehát AC ugyanazon az egyenesen van, mint AG^[I_14]. Éppen ezért BA is ugyanazon az egyenesen van, mint AH. Minthogy pedig a DBC szög egyenlő FBA-val - derékszög ugyanis mind a kettő^[P_4] -, adjuk hozzájuk közös (tagnak) az ABC szöget; így a teljes DBA szög egyenlő a teljes FBC-vel^[Ax_2]. És minthogy DB egyenlő BC-vel, FB pedig BA-val,^[I_D_22], e két-két (oldal), DB, BA és FB, BC páronként egyenlő; és a DBA szög egyenlő FBC-vel; az AD alap tehát egyenlő az FC alappal, és az ABD háromszög egyenlő az FBC háromszöggel^[I_4]; és az ABD háromszögnek kétszerese a BL paralelogramma, mert ugyanaz a BD szakasz az alapjuk és ugyanazon BD, AL párhuzamosok között fekszenek^[I_41]; az FBC három-szögnek pedig kétszerese a GB négyzet, mert ismét ugyanaz az FB szakasz az alapjuk és ugyanazon FB, GC párhozamosok között fekszenek^[I_41]. Egyenlőknek a kétszeresei pedig egyenlők egymással^[Ax_5]; egyenlő tehát a BL paralelogramma a GB négyzettel. Hasonlóképp mutatható meg AE-t és BK-t meghúzva az is, hogy a CL paralelogramma egyenlő a HC négyzettel. A teljes BDEC négyzet tehát egyenlő e két négyzettel, GB-vel meg HC-vel^[Ax_2]. És a BDEC négyzetet a BC, a GB, HC négyzeteket pedig a BA, AC oldalra emeltük. A BC oldalú négyzet tehát egyenlő a BA meg az AC oldalú négyzetekkel.
A derékszögű háromszögekben tehát a derékszöggel szemközti oldalra emelt négyzet egyenlő a derékszöget közrefogó oldalakra emelt négyzetek összegével. Éppen ezt kellett megmutatni.

 

 

 

MEZOPOTÁMIA

A súly- és a pénzegységben kialakult 60-as számrendszer elég meggyőzően magyarázná
a babiloni helyi értékes 60-as számrendszerű számírást.

SZEMELVÉNYEK AZ ÓKORI MATEMATIKÁBÓL

Feladatok:

1. )  Figyeld meg a következő összeadást! Milyen általános tételt lehetne leolvasni ebből?

1 + ½ + 1 / 4 + 1 / 8 = 15 / 8

2. ) REGULA FALSI, azaz a „ hamis szabály”.

Feladat: Egy szám meg a hetedrésze 19. Melyik ez a szám?  Ma így oldanánk meg: x + x/7 = 19 , tehát   8x/ 7 = 19, azaz   x= 19 * 7 / 8.

A feladat „ egyiptomi” megoldása: Tegyük fel, hogy a keresett szám a 7.

7 + 7/ 7 = 8 , s nem 19, tehát a keresett szám nem a 7, hanem ennél annyiszor nagyobb, ahányszor a 19 nagyobb a 8-nál:     19 : 8 =2 + ¼ + 1/8

A keresett szám tehát 7 * (2 + ¼ + 1/8 ) = 16 + ½ + 1/8.     Vagyis tetszőleges értékből kiindulva a helyes megoldás megkapható.

Oldd meg mai és „ egyiptomi” módszerrel is a következő feladatokat:

·         Egy szám és negyede 15. Melyik ez a szám?

·         Egy négyzetnek, és egy másiknak, amelynek az oldala az első négyzet oldalának a háromnegyede, területe összesen 100. Mekkorák a négyzetek?

·         Háromszor férek az edénybe. Ha ehhez hozzáadom a nagyságom harmadát és a harmadának a harmadát, majd nagyságom kilencedét, akkor egyet kapok. Mekkora a térfogatom?

3.)      Egy udvaron tyúkok és nyulak vannak.  Összesen 18 fejet és 48 lábat számoltam meg.

Hány tyúk és nyúl van az udvarban?

4.) Melyik szám lehet az alábbiak közül prím?

13; 16; 17; 329; 713

5.) Adj meg olyan prímet, amelyre p+10 és p+14 is prím!

6. ) Számegyenesen jelöld be a nullát és az egyet. Szerkeszd meg pontosan  a négyzetgyök kettő helyét! Majd a négyzetgyök háromét is!

7. ) Egy háromszög oldalai : 10; 12; 16 méter hosszúak Mekkora a területe?