Egyiptomi matematika Kevert csoportok 9.osztály

89. fogás   Egyiptomi  matematika

Kevert csoportok  9.osztály

Akár egy 100. óra, egy különleges múzeumi matematika óra is mindig ad egy lehetőséget arra, hogy a téma matematika legyen, de másKÉPpen.

 Lehetnek a csoportok kevertek, de az agy fogaskerekei azonban mégis mozognak, hiszen az osztály minden tagjának lehetősége van arra, hogy meghallgassa és megvitassa a többiek hozzászólását.

1. Mielőtt hozzáfognánk, magyarázzuk el a gyerekeknek a tanulási célt, a „Kevert csoportok” egész folyamatát! A feladatot ezután két részben végezzük el.
2. Osszuk fel az osztályt csoportokra. Minden csoport kap egy – egy kutatási témát, s mellé feladatot, célt, határidőt. Minden utasítás / feladat legyen más.
3. A csoportok nekifognak a számukra kijelölt feladat megoldásához; kutatási terület megvizsgálásához. Kapnak elméleti, matematika történeti anyagot, ókori számtanpéldát és megoldandó feladatot. Arra kérjük őket, hogy mindenki igyekezzen a füzetébe minél részletesebben jegyzetelni.
4. Az eljárás közben mindenki maga felelős a megértésért és a szerzett információk pontos lejegyzéséért.
5. az első szakasz vége felé a tanár az egyes csoportokon belül mindenkinek ad egy betűjelet: A,B,C,D,E, amely eldönti, melyik új csoportba kerül majd a következő szakaszban a diák.
6. A csoportok összekeverednek: az összes A jelű egy új csoportot alkot; a B-sek is, stb…
7. Ezekben az új csoportokban a diákok sorban beszámolnak az előzőekben szerzett tapasztalataikról, információikról, feladatmegoldásukról. Itt is jegyzetelniük kell!
8. Ezután visszaülnek az eredeti helyükre, s a csoportoknak kiadjuk a feladatlapot, amelyet együtt kell megoldaniuk. Mindenki ugyanazt a minősítést kapja, amelyet a dolgozatra adni lehet.

8/a VAGY önállóan ír mindenki dolgozatot s a csoport „átlagjegyét” adjuk a csoporttagoknak…

Kiegészítő tevékenységek:

- Hórusz – szeme   - puzzle;

- egyiptomi számírás – „papiruszra” vagy agyag / viasztáblára; - születési dátumok leírása

- csomós zsinórral négyzet kijelölése homokon

- csillagképek

-térkép- Nílus- mérés

- kis körökből kör és négyzet kirakása – terület; pi közelítése

 

Egyiptomi tekercsek

A Matematika-történet cikkeiben már többször hivatkoztunk ókori egyiptomi forrásokra. Sokan nem is gondolnák, hogy az időszámításunk előtti harmadik évezred idején a matematikának és más tudományoknak milyen fejlett kultúrája bontakozott ki a Nílus völgyében. Elég azonban csak a ma is álló, évente sok ezer turista által megcsodált piramisokra, vagy az egykori kifinomult öntözőrendszerre gondolni, és máris egyértelművé válik, hogy ezek csak tudatos, precíz mérnöki munka eredményei lehettek.

Az egyiptomi matematika megismerésére sajnos kevés forrás áll rendelkezésre, mindössze két jelentősebb írott emlék maradt ránk: a Rhind- és a moszkvai papirusz. A Rhind-papirusz nevét Henry Rhind skót egyiptológusról kapta, aki 1858-as luxori kutatásai során akadt rá a mintegy 8 méter hosszú és 30 centiméter széles tekercsre. Szerzője az i. e. 1600-as években uralkodó Rha-a-usz fáraó udvari írnoka, Ahmesz, aki azonban - állítása szerint - egy kétszáz évvel korábban keletkezett művet másolt le. Újabban a Rhind-papiruszt szokás Ahmesz-papirusznak is nevezni. Az orosz Golenicsev által felfedezett moszkvai papirusz jelentőségében és méretében is szerényebb (mindössze 8 cm széles), írója nem ismert.

Mindkét tekercs érdekessége, hogy noha készítőik szándéka minden bizonnyal a kor matematikai eredményeinek összegzése volt, mégis kizárólag gyakorlati példákat tartalmaznak.

 

A Rhind-papirusz egy óegyiptomi, számtannal és mértannal foglalkozó papirusztekercs, amelyet Jahmesz (Ahmesz) írnok készített Kr. e. 1750 táján. Nevét felfedezőjéről, Henry Rhind skót régiségkereskedőről kapta.

1858-ban Rhind skót régiségkereskedő Egyiptomban járt, hogy tüdőbetegségét gyógyíttassa. Luxorban megpillantott és megvett egy szokatlanul nagy, de sérült papirusztekercset, amelyet Thébában találtak. A tekercs később a British Museumba került. A hiányzó részt 50 évvel később találták meg egy amerikai történelmi gyűjteményben.

Írójáról szokás még Ahmesz-papirusznak is nevezni. Ez a mű az elsőként megismert, ókori egyiptomi matematikával foglalkozó írás.     A hétköznapi élettel összefüggő számolási, és geometriai feladatokat írtak a tekercsre. A 85 példa számolástechnikai ismertetés, egyszerű egyenletek megoldása, terület-, és térfogatszámítási feladat volt.

A „tankönyv” ismertette, hogyan lehet kiszámítani; a trapéz területét, a számtani és mértani sorozatokat, elsőfokú egyismeretlenes egyenleteket. A papiruszon vannak 3, 4 és 5 egységoldalú háromszögek, de nem mondták ki, hogy derékszögű háromszögek.

A Kheopsz piramis alapnégyzete olyan szabályos, hogy minden méretét milliméterben is meg lehet adni. A sarokszögek eltérése a 90°-tól kevesebb, mint 5’!

 

Az egyiptomi  építészet történetének homályába vész a derékszög-szerkesztés azon módjának eredete, hogy 3, 4 és 5 egység hosszúságú köteleket kell kifeszíteni háromszög alakban. A „kötélkifeszítők”( harpedonaptoszok)  nagy valószínűséggel ezt használták a derékszög kifeszítésére a földmérésnél és a templomok, oltárok építésénél. Ez nem azt jelenti, hogy tudtak egy törvényt, hanem azt, hogy konkrét esetben felismerték és általánosították azt. ( 8 piramist építettek a 3-4-5 aránnyal.)

Próbáld ki Te is ezt a „köteles-módszert”!  Melyik oldallal lesz szemben a derékszög?   

A Rhind-papiruszon  van egy mértani sorozatra utaló játékos feladat, amely sok későbbi feladatgyűjteményben, népi találós kérdésben felbukkan. A papirusz nem közli a feladat szövegét, de a számokból könnyű kitalálni:

7 ház;  49 macska;  343 egér ;  2401 búzaszem ;  16807 hekat;

Egyiptomi mau:

Hét ház mindegyikében hét macska él. Mindegyik macska fogott hét egeret, amelyek mindegyike megevett hét búzakalászt, és minden búzakalászban volt hét szem búza. Mennyi búzaszemet ettek meg az egerek?

A mértani sorozat fogalmát már az ókori egyiptomiak is ismerték, és összegük is érdekelte őket; konkrét feladatok esetén ki is tudták számolni az összeget. Megtalálták ugyanis a Rhind-papiruszon a következő feladat - amely később feladatgyűjteményekben és népi találóskérdésekben is felbukkant - igen tömör megoldását: „Ha 7 ház mindegyikében 7 macska van, mindegyik megfogott 7 egeret, minden egér megevett 7 búzakalászt. Moinden búzakalászban 7 búzaszem volt.Ha minden búzaszemből 7 hekat búza termett volna, hány hekat búza lett volna abból?”  (A hekat egyiptomi űrmértékegység, pontos átváltása mai SI egységekre nem ismert, és tudjuk, hogy a történelem során értéke változott is; egyes források szerint 1 hekat búza kb. 4,7 liter körül lehetett.) A papiruszon maga a feladat nem szerepel, csak a megoldás szűkszavú leírása ("Ház: 7 - macska: 49 - egér: 343 - ..." stb.), de lehetetlen nem rájönni; továbbá a papirusz nem utal az összegképlet ismeretére: végigszámolták a sorozat tagjait, és úgy adták össze.   Hasonló példa szerepel egy XIX. századi angol mondókában:

As I was going to St. Ives, I met a man with seven wives, Every wife had seven sacks, Every sack had seven cats,

Every cat had seven kits, Kits, cats, sacks and wives, How many were going to St. Ives

(Ez a példa az Egyiptomitól annyiban tér el, hogy beugratós feladat: csak egyvalaki ment St. Ives-ba, mégpedig a vers elbeszélője, az asszonyos-zsákos kompánia St. Ives felől jött, nem pedig oda ment).   Az idézett vers hozzávetőleges fordítása: "Épp Szentiván felé mentem, s szembe / Egy ember jött, hét asszony követte. / Minden asszony hét zsákot vitt vállán / Mindben hét tyúk egymás hegyén-hátán. / Minden tyúknak volt hét kiscsibéje, / Csibe, tyúk, zsák, asszony - megmondod-e nékem; / Hány ment Szentivánba amaz úton, régen?"   

A Rhind-papirusz 50-es példája egy 9 egység (khet) átmérőjű

kör területének kiszámítását tűzi ki célul. A módszer figyelmet érdemel: vegyük el az átmérőből az 1/9-ét, majd az eredményt szorozzuk meg önmagával. Tehát a d átmérőjű kör területét a

képlettel kifejezett módon számították.

( Alakítsuk át a fenti képletet, ne szerepeljen benne a kör átmérője, hanem csak a sugara és bontsuk fel a zárójelet! ) Hasonlítsuk össze a mai képletünkkel, fejezzük ki a kör sugarával a kör területét!

t = r ²π

Milyen értéket használtak az egyiptomiak a  π helyett? 

HÓRUSZ SZEME Nem meglepő, hogy az ősi Egyiptom fejlett matematikai ismeretekkel rendelkezett. Hórusz-szemével már 4000 éves adatok szerint is számokat fejeztek ki az egyiptomiak.                                                Hórusz sólyomisten volt, a szeme félig emberé, félig sólyomé. Szemének misztikus jelentősége volt. Ozírisz és Ízisz egyetlen fiaként Hórusz esküt tett, hogy megbosszulja apja halálát, akit annak fivére, Szeth ölt meg. Egyik párviadalukban Szeth kitépte Hórusz szemét. Hat darabra szaggatta és a darabokat szétszórta Egyiptom felett. A legenda szerint az istenek közbeléptek: Hóruszt Egyiptom királyává és a fáraók védelmezőjévé tették. Thotot a tanulás és varázslás istenét utasították, hogy rakja össze Hórusz szemének darabjait. Hórusz szeme ezután a teljesség, a tisztánlátás, a bőség és a termékenység jelképe lett; amuletté vált, formája az udzsat – szem. Az egyiptomi mitológia szerint Hórusz szeme az idők során egybeforrt. Thotnak most mennyivel kellene kiegészítenie a törteket, hogy kiadják az egészet? Mind a Rind-, mind a moszkvai tekercs érdekessége, hogy noha készítőik szándéka minden bizonnyal a kor matematikai eredményeinek összegzése volt, mégis kizárólag gyakorlati példákat tartalmaznak. Ezek megoldási módszere gyakran hasonló, a Rhind-papirusz 89 feladata közül az első hat például csak azzal foglalkozik, hogyan lehet n cipót 10 ember között elosztani, ahol n = 1 az első feladatban, és n = 9 a hatodikban. A megoldás nyilvánvalóan törtszámokat igényel, amelyeket a korban már ismertek, számolni azonban igen nehézkesen tudtak velük. Ennek oka, hogy az egyiptomiak - a külön névvel is rendelkező kétharmad kivételével - csak egységszámlálójú törtekkel (törzstörtekkel) dolgoztak, és ezekből állították elő az összes többi törtszámot. Egyik legrégebbi írásos emlékünk, a megtalálójáról elnevezett Rhind-papirusz, az egyiptomi matematika 4000 évvel ezelőtti módszereibe nyújt betekintést. A papirusz táblázataiból kiderül, hogy az egyiptomi matematikusok a racionális számokat különböző egészek reciprokának – úgynevezett egységtörteknek – az összegeként írták fel. Először Leonardo Pisano (Fibonacci) bizonyította be a 12. században, hogy minden racionális szám felírható különböző egységtörtek összegeként. Törtszámként csak az 1/n alakú, ill. két 1-1/n alakú kifejezést, a 2/3-ot és a 3/4-et ismerték. Ezért az osztást és a törtekkel végzendő egyéb műveleteket mindig 1/n alakú, különböző nevezőjű törtek összegévé vagy különbségévé alakították. Külön, önálló jelük volt az 1/2, 1/4, 2/3, 1/3 törtekre, amelyek így a természetes számokhoz hasonlóan alapmennyiségekként szerepelnek. A végső eredményekhez ezek duplázásával vagy felezésével jutottak el. Például a Rhind-papirusz 4. problémája ez: osszunk szét hét cipót tíz ember között. Válasz: minden ember 2/3 + 1/30 cipót kap. Például a 2/9-et 1/6 + 1/18 alakban írták, hasonlóképpen 2/17 = 1/12+1/51+1/68, valamint : Ellenőrizd, helyesen számoltak-e? Bontsd fel a 2/15 –ödöt két, 1/n alakú ( 1 számlálójú) törtre! Figyeld meg a következő összeadásokat! Milyen általános tételt lehetne leolvasni ezekből? a)  1 + 1/3 + 1/ 4 = 7 / 4 b)  1 + ½ + 1/ 3 + 1 / 6 = 12 / 6 REGULA FALSI, azaz a „hamis szabály”. Az Ahmesz-papirusz egyik aritmetikai feladata  azt is  mutatja, hogy az egyiptomiak ismerték a számtani sorozat fogalmát. 100 cipót 5-felé kell osztani úgy, hogy a részek számtani sorozatot alkossanak  (számtani sorozat egymást követő elemei legyenek), és a három nagyobb rész összegének a hetede akkora legyen, mint a két kisebb rész összege. A feladatot a „regula falsi” módszerével oldották meg. Egy másik feladat: Egy szám meg a hetedrésze 19. Melyik ez a szám?  Ma így oldanánk meg: x + x/7 = 19 , tehát   8x/ 7 = 19, azaz   x= 19 * 7 / 8. A feladat „egyiptomi” megoldása: Tegyük fel, hogy a keresett szám a 7. 7 + 7/ 7 = 8 , s nem 19, tehát a keresett szám nem a 7, hanem ennél annyiszor nagyobb, ahányszor a 19 nagyobb a 8-nál:     19 : 8 =2 + ¼ + 1/8 A keresett szám tehát 7 * (2 + ¼ + 1/8 ) = 16 + ½ + 1/8.     Vagyis tetszőleges értékből kiindulva a helyes megoldás megkapható. Oldd meg mai és „ egyiptomi” módszerrel is a következő feladatot: ·        Egy szám és negyede 15. Melyik ez a szám? Feladatlap: 1.     )  Figyeld meg a következő összeadást!  Ellenőriz, helyes a számolás? Milyen általános tételt lehetne leolvasni ebből? 1 + ½ + 1 / 4 + 1 / 8 = 15 / 8 2. ) REGULA FALSI, azaz a „hamis szabály”. Oldd meg mai és „ egyiptomi” módszerrel is a következő feladatokat: ·         Egy négyzetnek, és egy másiknak, amelynek az oldala az első négyzet oldalának a háromnegyede, területe összesen 100. Mekkorák a négyzetek? ·         Háromszor férek az edénybe. Ha ehhez hozzáadom a nagyságom harmadát és a harmadának a harmadát, majd nagyságom kilencedét, akkor egyet kapok. Mekkora a térfogatom? 3.)      Egy udvaron tyúkok és nyulak vannak.  Összesen 18 fejet és 48 lábat számoltam meg. Hány tyúk és nyúl van az udvarban? 4. ) Szerkessz a 11 csomós zsinór segítségével négyzetet!